https://doi.org/10.37815/rte.v37n2.1321

Artículos originales

Maximización de la producción agrícola y del beneficio
económico: Aplicación simplificada del modelo cuadrático

Maximizing agricultural production and economic profit: Simplified application
of the quadratic model

Luis
Alberto Duicela Guambi1 https://orcid.org/0000-0002-9326-8545,

Ángel
Monserrate Guzmán Cedeño1, 2  https://orcid.org/0000-0001-7057-8068, Osvaldo Fosado Téllez3 https://orcid.org/0000-0002-2245-2943

1Escuela
Superior Politécnica Agropecuaria de Manabí Manuel Félix López, Calceta, Ecuador

[email-masked],
[email-masked]

2Universidad
Laica Eloy Alfaro de Manabí, Manta, Ecuador

[email-masked]

3Universidad
Técnica de Manabí, Portoviejo, Ecuador

[email-masked]

Enviado:       2025/05/24

Aceptado:       2025/07/15

Publicado:
2025/12/15

Resumen

Sumario: Introducción, Metodología, Resultados y Discusión, Conclusiones.

Como citar: Duicela, L., Guzmán, A. & Fosado, O. (2025). Maximización de
la producción agrícola y del beneficio económico: Aplicación simplificada
del modelo cuadrático. Revista Tecnológica - Espol, 37(2), 113-131. https://rte.espol.edu.ec/index.php/tecnologica/article/view/1321

La
maximización de la producción y del beneficio económico, así como la
minimización de costos, busca satisfacer la demanda alimentaria, impulsar la
seguridad alimentaria y mejorar la rentabilidad de los agricultores. Este
trabajo tiene como objetivo validar la aplicación de tres modelos cuadráticos
simplificados para la optimización de los rendimientos agrícolas en función de
los insumos. En investigaciones cuantitativas, donde la variable de respuesta
es del tipo “mayor es mejor”, se verifica la ley de rendimientos decrecientes,
donde los modelos cuadráticos simplificados resultan prácticos para calcular
máximos técnicos y el punto óptimo económico. En variables del tipo “menor es
mejor” como los costos, el modelo cuadrático simplificado posibilita la minimización
de los costos con alta confiabilidad. Los modelos simplificados, aplicados para
maximizar la producción y beneficios económicos, así como para minimizar costos
se han probado como válidos y son de ágil aplicabilidad en la experimentación
agrícola.

Palabras
clave: Análisis
microeconómico, eficiencia productiva, máximo técnico, óptimo económico.

Abstract

Maximizing production and economic
profit, as well as minimizing costs, aims to meet food demand, boost food
security, and improve farmers' profitability. This study aims to validate the
application of three simplified quadratic models for optimizing agricultural
yields based on inputs. In quantitative research where the response variable is
"higher is better," the law of diminishing returns is verified, and
simplified quadratic models prove practical for calculating technical maximums
and the economic optimum. For "lower is better" variables such as
costs, the simplified quadratic model enables cost minimization with high
reliability. Simplified models, applied to maximize production and economic
profit, as well as to minimize costs, have proven valid and easily applicable
in agricultural experimentation.

Keywords: Microeconomic analysis, productive
efficiency, technical maximum, economic optimum.

Introducción

La agricultura ha sido un pilar fundamental
en el desarrollo de la humanidad, orientada históricamente a satisfacer la
creciente demanda de alimentos, fibras y forrajes mediante el incremento de la
productividad (FAO, 2011). En la actualidad, este objetivo persiste, impulsado
por la incorporación de variedades mejoradas, tecnologías y el uso eficiente de
insumos agrícolas como fertilizantes, pesticidas, semillas y maquinaria
(AGROCALIDAD, 2023).

El uso eficiente de estos insumos no solo
busca aumentar los rendimientos y reducir las pérdidas por plagas o
enfermedades, sino también garantizar la calidad del producto final,
minimizando los impactos ambientales (TOTVS, 2024). Para ello, la agricultura
moderna recurre a herramientas de precisión y modelos analíticos que permitan
tomar decisiones óptimas en contextos de recursos limitados para optimizar los procesos de producción
agropecuaria, haciendo que la agricultura sea más eficiente y rentable (Best et al., 2014).

Sin embargo, un problema frecuente en la
investigación agropecuaria es que muchos ensayos experimentales se limitan a
describir los efectos de diferentes dosis de insumos sobre la producción, sin
proporcionar recomendaciones técnicas y económicas concretas (Gómez &
Gómez, 1984; Pagani et al., 2008). Esto se debe, en parte, al uso limitado de
modelos matemáticos que relacionen insumo y producto, lo que impide identificar
niveles óptimos de aplicación para maximizar la producción o rentabilidad. Arias et al. (2021), enfatiza en que la
investigación de operaciones y el diseño de modelos de optimización son
fundamentales en el desarrollo de soluciones prácticas a los problemas de
producción; sobre todo, en el sector agrícola que necesita de insumos técnicos
para desarrollar estrategias para maximizar los beneficios, que se identifica
como optimización.

Desde la microeconomía y la investigación
operativa, se han desarrollado herramientas como el análisis de regresión y
modelos cuadráticos que permiten estimar el máximo técnico, el mínimo costo y
el punto óptimo económico (Castán-Farrero, 1988; Huerta, 2001; CIMMYT, 1988).
Estos modelos constituyen una base sólida para la optimización de la producción
agrícola en función de uno o más factores.

Para decidir las
recomendaciones apropiadas en términos económicos, a partir de experimentos
agrícolas, analizando la función producción o función rendimiento (Castán,
1988), hay varias opciones que dependen del tipo de modelo. Matute et al.
(2023), Muinelo (2012), Pontón (2010), Huerta (2001), el Centro Internacional
de Mejoramiento de Maíz y Trigo (CIMMYT, 1988) y Gómez & Gómez (1984),
entre otros, han propuesto alternativas de análisis microeconómico; por lo tanto, este estudio tiene como objetivo
general validar la aplicación de tres modelos cuadráticos simplificados para
optimizar los rendimientos agrícolas en función del uso de insumos.

Los objetivos específicos son los
siguientes:

·
Maximizar la producción
agrícola determinando la dosis de insumo asociada al máximo técnico.

·
Minimizar los costos de
producción mediante la estimación de la dosis óptima de menor costo.

·
Maximizar el beneficio
económico identificando la dosis de insumo correspondiente al punto óptimo
económico (POE).

Metodología

Función producción

La función producción
permite comprender cuánto se puede producir con una cantidad determinada de
insumos. En los experimentos agrícolas, normalmente se estudian uno o más
factores con niveles de tipo cuantitativo (p.e.: dosis de nitrógeno) o
cualitativo (alternativas de fertilización orgánica), que constituyen las
variables independientes, y se miden sus efectos sobre una variable dependiente
como el rendimiento de grano (Corral, 2019).

Al analizar una
función producción en agricultura, cuando un producto depende de un insumo, el
modelo cuadrático (Y = a + bX + cX2), es el más adecuado (Corchuelo
y Quiroga, 2014; Debertin, 2012). La validez del modelo puede verificarse con
el Coeficiente de determinación (R2), que se usa como prueba de
bondad de ajuste. El Coeficiente R2, según
Gómez & Gómez (1984), es una medida estadística que indica la proporción de
la variación total de la variable dependiente (Y) que es explicada por la
variable independiente (X). Las variables independientes (factores en estudio),
frecuentemente estudiadas son: dosis de fertilizantes, densidad poblacional, dosis de plaguicidas y láminas de
agua, que se configuran como tratamientos. El efecto de los tratamientos se
mide a través de variables de respuesta (Corral, 2019), como son el rendimiento
de grano.ha-1 y la producción de biomasa, frutos/planta o peso de
racimo.

Los datos
experimentales se pueden analizar usando las técnicas de regresión para
elaborar modelos matemáticos bivariados [Y = f(X)], describir la
relación entre insumo (input) y producto (output), y predecir su comportamiento
futuro en condiciones tecnológicas y biofísicas concretas (Sydsaeter y Hammond 1996; Doll
& Orazem, 1978).

Con la información de los experimentos de
campo o laboratorio, se inicia elaborando un dispersograma[1],
para visualizar la tendencia de los datos en el plano cartesiano. En el caso de
haber datos atípicos u “Outliers”, estos se corrigen o se descartan; luego, se
traza la línea de tendencia apropiada y se define el modelo que mejor explique
la función producción. Un gráfico Y = f (X), realizado con programas
estadísticos, proporciona el modelo matemático y su coeficiente de
determinación (R2). Un valor de R2 cercano a la unidad es
un indicativo de la validez del modelo matemático.

La función producción, como modelo
cuadrático, se representa en el gráfico 1. Según Debertin (2012) y Salvatore (2009),
la función producción de tipo cuadrática presenta tres etapas. En la etapa I,
los niveles de uso del insumo responden a tasas más que proporcionales y se
conoce como la “etapa de rendimientos crecientes”. La etapa II indica los
niveles de insumo donde la producción aumenta a tasas decrecientes, por eso se
conoce como la “etapa de rendimientos decrecientes” o “etapa económica” y en
esta se encuentran los niveles de insumo que permiten maximizar ganancias (POE)
o maximizar la producción (PMáx). La etapa III corresponde al uso de
los niveles de uso del insumo, donde la producción disminuye y es conocida como
la etapa de “etapa de rendimientos negativos” (Salvatore, 2009).

La producción
total a la cantidad de producto se obtiene con cada nivel de insumo. La
producción total (Y) es la cantidad total de unidades físicas (t, kg, g) que
varía en función de los cambios en la cantidad de insumo aplicado (X), (Gómez
& Gómez, 1984). La producción promedio con insumo variable, por lo general,
primero crece, llega al máximo y después decrece (Salvatore, 2009).

El modelo cuadrático explica el fenómeno de
causalidad (Walpole et al., 2012; Gómez
& Gómez, 1984). La
función de producción: Y = a + bX - cX2 se relaciona con la
ley de los rendimientos decrecientes (Ley de Mitscherlich), donde se indica que
a cada incremento de la dosis del factor limitante que se encuentra en menor
cantidad corresponde un incremento en la producción, que tienden a ser cada vez
más reducidos, hasta llegar a un incremento nulo (Castán, 1988).

Figura 1

Función producción de tipo cuadrática

Para la maximización de la producción
(máximo técnico) y de los beneficios netos (óptimo técnico) se usa el cálculo
diferencial (Corchuelo y Quiroga, 2014; Sydsaeter y Hammond, 1996; Doll &
Orazem, 1978). La función producción: Y = f(X), al ponerla en valor ($) se
convierte en una función económica: $Y = f($X), como se expone en el
gráfico 2.

En general, se piensa en términos
marginales, ya sea como Producto marginal o como Costo marginal. El Producto
marginal se refiere al incremento de la producción por cada unidad adicional
del insumo usada en el proceso productivo; mientras que el Costo marginal es el
incremento en los costos totales debido al aumento de una unidad de producto
(Mankiw, 2012).

El Costo marginal (CMg) se
expresa mediante la siguiente fórmula:

à

Dónde:

C Mg =Costo marginal

CT = Costo total (costos fijos + costos
variables)

= Incremento del costo total

= Incremento en la cantidad de insumo

El costo total es el valor de mercado de
todos los insumos usados en la producción (Mankiw, 2012) que resulta de la
sumatoria de los costos fijos y los costos variables. El presente análisis
trata sobre el análisis marginal, por lo que se identifica como “Costo total
que varía” (CT1 à CT2),
refiriéndose al incremento del costo por el incremento de la cantidad de
insumos (X1 à X2),
usada en el proceso productivo.

Máximo Técnico

El máximo técnico
es concebido como el nivel de producción máximo que se puede obtener al ir
aumentando las cantidades (niveles) del factor en estudio, después de lo cual
la producción puede permanecer constante o disminuir.

A partir del
modelo cuadrático de la función producción se aplica la
teoría del cálculo diferencial, que se inicia con el cálculo de la primera derivada de la función producción.
Esta primera derivada se iguala a cero y se obtiene el valor XMax que
es la cantidad de insumo asociada al máximo técnico.

Modelo
cuadrático

Y = a + bX - cX2.

Nota: Tomar en cuenta que el coeficiente
cuadrático tiene signo negativo (- c).

Figura 2

Producción de maíz ADVANTA 9313 en
función de las dosis de nitrógeno

Cálculo de la primera derivada

à
Derivada de una constante.- Es igual a cero

à
Derivada de una constante por una función.- Es igual a la constante por la
derivada de la función:

. En este caso, la derivada de

Por
lo tanto:

à Derivada de una
potencia.- Es igual al exponente multiplicado por la base elevada al exponente
menos 1. En este caso:

=

à 2(cX)

Por lo tanto, la primera derivada es:

Y´= b – 2(cX)

Para calcular el máximo técnico, la primera
derivada se iguala a cero

b – 2(cX) =
0

En este momento
del análisis, X representa la cantidad de insumo (XMáx) requerida
para obtener la producción máxima o máximo técnico (YMáx).

Resolviendo la operación: b – 2(cX) à
b = 2cX.

De este modo se obtiene el modelo simplificado
para maximizar la producción.

Modelo para maximizar la producción

[1]

Dónde:

XMáx =
dosis de insumo asociada al máximo técnico (máxima producción esperada).

b = Coeficiente
del componente lineal

c = Coeficiente
del componente cuadrático. En este caso tiene signo negativo, por lo que en la
fórmula simplificada se usa como valor absoluto.

Minimización de los Costos

La minimización
de costos es una estrategia empresarial que busca reducir los gastos y aumentar
las ganancias. Se trata de hacer más con menos, o producir lo mismo con menores
costos. El modelo cuadrático de la función costo tiene la curva hacia abajo (gráfico
3):

Modelo cuadrático

Y = a – bX + cX2

Dónde:

Y = Variable
dependiente. En este caso el costo total del proceso productivo

X = Variable
independiente

a = Intercepto

b = Coeficiente
lineal.  En este caso tiene signo
negativo.

c = Coeficiente
cuadrático

Nota: Tomar en cuenta que el coeficiente lineal
(b) tiene signo negativo.

El procedimiento
para obtener el modelo simplificado para minimizar los costos es igual al
anterior, con la particularidad de que el coeficiente b tiene signo negativo.
En la fórmula se coloca como valor absoluto

. Para
diferenciar la variable independiente asociada al costo mínimo, se indica como:
Xmin.

Modelo para minimizar el costo

[2]

Dónde:

Xmin =
dosis de insumo asociada al mínimo costo

b = Coeficiente
lineal. Como tiene signo negativo, se usa el valor absoluto

c = Coeficiente
del componente cuadrático

Figura 3

Relación
entre humedad del grano y costos de almacenamiento

Optimización del Rendimiento

La optimización del rendimiento es
equivalente a la maximización del beneficio neto. Para este análisis se
requiere de la información económica, expresada en el índice económico,
calculado como la relación entre costo unitario del insumo (Cx) y
precio unitario de venta del producto (Py) (Doll & Orazem,
1978). Luego de calcular la primera derivada de la función producción, se
iguala al índice económico (Cx/Py) y de este modo se
determina la cantidad de insumo XPOE requerida para lograr el máximo
beneficio neto YPOE (gráfico 4).

El valor del intercepto (a) es la cantidad
de producto obtenido (Y) cuando X = 0; por ejemplo: en un ensayo de
fertilización, en el testigo absoluto (sin fertilización), se logrará un nivel
de producción, porque hay remanente del nutrimentos en el suelo.

Modelo
cuadrático

Y = a + bX - cX2

La primera
derivada, calculada con el procedimiento indicado para la maximización de la
producción, es la siguiente:

Para la
optimización del rendimiento (maximizar los beneficios económicos), la primera
derivada se iguala al índice económico, que es la relación entre el costo
unitario del insumo y el precio unitario de venta del producto:

Por lo tanto: b – 2(cX) =

Figura 4

Función económica agrícola ajustada al
modelo cuadrático

En este momento
del análisis, X representa la cantidad de insumo (XPOE) requerida
para lograr el punto óptimo económico (YPOE). De este modo, se
obtiene el modelo simplificado para maximizar los beneficios netos que equivale
a optimizar el rendimiento.

Modelo para optimizar el rendimiento

[3]

Dónde:

XPOE =
dosis de insumo asociada al punto óptimo económico.

b = Coeficiente
del componente lineal

c = Coeficiente
del componente cuadrático. En este caso con signo negativo, por lo que en la
fórmula se usa como valor absoluto

.

= Índice económico

Aplicación de los Modelos

Se
desarrollan 10 ejercicios de aplicación de los modelos cuadráticos para la
maximización de la producción, minimización de los costos u optimización del
rendimiento. Los datos usados en la aplicación de los modelos corresponden a
estudios realizados por Gavilánez y Gómez (2022) en rendimiento de maíz en
función de fertilizantes nitrogenados (N), fosfatados (P2O5)
y potásicos (K2O); Intriago y Quiroz (2018), en biomasa del pasto
maralfalfa en función de la fertilización con nitrógeno (N) y azufre (S); Gómez
y Gómez (1984),  en rendimiento de arroz
en función de fertilizante nitrogenado; Vishnu (2024), en rendimiento de
cultivos en función de  densidades
poblacionales; Smith et al. (2018), en almacenamiento de grano en función de la
humedad; y Castañeda (2018), en minimización de los costos para la fabricación
de productos.

La
decisión de maximizar o minimizar depende del tipo de variable de respuesta,
que puede ser: Mayor es mejor (p.e.: Mayor rendimiento), menor es mejor (p.e.:
Incidencia de plagas en cultivos) o nominal es mejor (p.e.: amarillo es mejor)
(Cruz et al., 2012). En el presente trabajo se analizan las variables “mayor es
mejor” y “menor es mejor”.

Resultados
y Discusión

Maximización de la producción:

Ejercicio
1: Determinación de la dosis de nitrógeno para una máxima producción del maíz
híbrido Advanta 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022)

En
un experimento factorial incompleto de 15 tratamientos en tres repeticiones con
arreglo a un diseño central compuesto (DCC), Gavilánez y Gómez (2022), se probaron
dosis de N, P y K sobre el rendimiento del maíz híbrido ADVANTA 9313.

Objetivo:
Determinar la
dosis de nitrógeno que permita lograr el máximo rendimiento.

Modelo
cuadrático

REN
= 5.315 + 68,24 (N) - 0,2765 (N)2

Elementos
y Coeficientes del modelo

REN
= Rendimiento en kg de grano.ha-1.

X =
N. Dosis del insumo (Ingrediente activo N): X = 80, ……. 160 kg nitrógeno.ha-1

a =
Intercepto = 5315 kg de grano.ha-1

b =
Coeficiente lineal = 68,24

c =
Coeficiente cuadrático = - 0,2765

Cálculo de XMáx.

à

à

~ 123 kg de N.ha-1

Cálculo
del máximo técnico (YMáx)

Modelo:
REN = 5.315 + 68,24 (N) - 0,2765 (N)2

RENMax = 5.315 +
68,24 (123) - 0,2765(123)2

RENMax
= 5.315 + 8.394 – 4.183 = 9.526 kg de grano.ha-1

Decisión

Aplicando
123 kg de N.ha-1, se obtiene 9.526 kg de grano.ha-1 que
es la máxima producción esperada con la fertilización nitrogenada.

Usando
el programa MINITAB, Gavilánez y Gómez (2022), llegaron a la conclusión que los
mayores rendimientos de maíz ADVANTA 9313, se obtienen con la aplicación de 110
a 140 kg.ha-1, que es un rango muy amplio. Con el modelo cuadrático
simplificado se determinó que aplicando 123 kg N.ha-1 se puede
obtener 9.526 kg de grano.ha-1, el máximo técnico.

Ejercicio
2: Determinación de la dosis de fósforo para una máxima producción del maíz
híbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).

Objetivo:
Determinar la
dosis de fósforo que permita lograr el máximo rendimiento.

Modelo
cuadrático

REN
= 5.459 + 135,22 (P) – 1,1046(P)2

Elementos
y Coeficientes del modelo

REN
= Rendimiento de maíz (kg.ha-1)

X =
P. Dosis del insumo (Ingrediente activo P2O5): X = 40,
……= 80 kg.ha-1

a =
Intercepto = 5459 kg de grano.ha-1e

b =
Coeficiente lineal = 135,22

c =
Coeficiente cuadrático = - 1,1046

Cálculo de XMáx.

à

à

~ 61 kg de P2O5
ha-1

Cálculo
del máximo técnico (YMáx)

Modelo:
REN = 5.459 + 135,22 (P) – 1,1046(P)2

REN
= 5.459 + 135,22 (61) – 1,1046(61)2

REN
= 5.459 + 8.248 – 4.110 = 9.597 kg de grano.ha-1

Decisión

Aplicando 61 kg de P2O5.ha-1
se logra una producción máxima de 9.597 kg de grano.ha-1.

Usando
el programa MINITAB, Gavilánez y Gómez (2022), determinaron que las dosis
apropiadas de fósforo varían de 50 a 70 kg.ha-1. Aplicando el modelo
simplificado se determinó que el máximo técnico se logra con 61 kg de P2O5
ha-1. En un experimento similar, en Colombia, Bernal et al. (2014),
usando el programa SAS para el análisis de las curvas de respuesta,
determinaron 90 kg de P2O5 ha-1 como mejor
dosis.

Ejercicio
3: Determinación de la dosis de potasio para una máxima producción del maíz
híbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).

Objetivo:
Determinar la
dosis de potasio que permita lograr el máximo rendimiento.

Modelo
cuadrático

REN
= 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2

Elementos
y coeficientes del modelo

REN
= Rendimiento de grano (kg. ha-1)

K =
X = Dosis del insumo (Ingrediente activo K2O): X = 80, ……. 160 kg.ha-1

a =
Intercepto = 5384 kg.ha-1, cuando X = 0

b =
Coeficiente lineal = 71,81

c =
Coeficiente cuadrático = - 0,3029 (con signo negativo)

Cálculo
de XMax:

à

=

= 118,54 ~ 119 kg de K2O.ha-1

Cálculo
del máximo técnico

Modelo:
REN = 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2

REN
= 5.384 + 71,81 (119) – 0,3029(119)2

REN = 5.384 + 8.545 – 0,3029 (14.161) à REN = 5.384 + 8.545 – 4.289

REN
= 9.640 kg de grano.ha-1

Decisión

Aplicando
119 kg de K2O.ha-1, se obtiene 9.640 kg de grano.ha-1
que es la máxima producción esperada con la fertilización potásica.

Usando
el programa MINITAB, Gavilánez y Gómez (2022), determinaron que las mejores
dosis varían de 100 a 140 kg.ha-1 de K2O. Usando el
programa SAS, Bernal et al. (2014) determinó que 90 kg de K2O ha-1
es la mejor dosis de fertilizante potásico. Aplicando el modelo simplificado se
calculó en 119 kg.ha-1 como la dosis que posibilita alcanzar el
máximo técnico en maíz.

Ejercicio
4: Respuesta del pasto maralfalfa (Pennisetum sp.) a dosis crecientes de
N y S bajo condiciones del valle del río Carrizal (Intriago y Quiróz, 2018).

Objetivo: Determinar la
dosis de azufre aplicado al suelo que permita la obtención de la máxima
producción de biomasa fresca.

La
biomasa fresca (BIOM) se midió en kg.parcela-1 de 9 m2 en
un experimento con distintas dosis de azufre (Intriago y Quiróz, 2018).

Modelo
cuadrático

BIOM=
13,69 + 0,029 S - 0,0001 S2

R²
= 0,987

Elementos
y coeficientes del modelo

BIOM
= Biomasa fresca (kg.parcela-1)

S =
Dosis de azufre aplicado al suelo

a =
Intercepto = 13,7 kg.parcela-1

b =
Coeficiente lineal = 0,029

c =
Coeficiente cuadrático = -0,0001

Cálculo
de XMáx:

à

= 145 kg de S.ha-1.

Cálculo
de BIOM Máx

Modelo:
BIOM= 13,69 + 0,029 S - 0,0001 S2

BIOM
Máx = 13,69 + 0,029 (145) - 0,0001 (145)2

BIOM
Máx = 15,80 kg.parcela-1

Decisión

Usando
145 kg de S.ha-1 se puede producir 15,80 kg.parcela-1 de
biomasa fresca del pasto maralfalfa que equivale a 17,56 t.ha-1.

Ejercicio
5: Rendimiento de grano de arroz probado con cinco dosis de nitrógeno en la
estación húmeda (Gómez & Gómez, 1984).

Objetivo: Determinar la
cantidad de insumo que posibilite la producción máxima.

Modelo
cuadrático

Y =
4,675 + 0,0477 N – 0,000366 N2.

R2
= 0,97

Elementos
y Coeficientes del modelo

Y =
Rendimiento de arroz en t.ha-1

X =
N. Dosis de fertilizante nitrogenado (kg
de N.ha-1)

a =
Intercepto = 4,675 (intercepto)

b =
Coeficiente lineal = 0,0477

c =
Coeficiente cuadrático = - 0,000366

Cálculo
de XMáx

à

= 65,2 kg de N.ha-1.

Cálculo
del rendimiento máximo

Modelo:
Y = 4,675 + 0,0477 N – 0,000366 N2.

YMáx
= 4,675 + 0,0477 (65,2) – 0,000366(65,2)2.

YMáx
= 4,675 + 3,11 – 0,000366(4.251)

YMáx
= 4,675 + 3,11 – 1,556 = 6,23 t.ha-1

Decisión

La
dosis de insumo 65,2 Kg de N.ha-1 posibilita la obtención del máximo
rendimiento de arroz, que se estimó en 6,23 t.ha-1.

En
un ensayo de arroz, en época lluviosa, Gómez & Gómez (1984), desarrollaron
un modelo cuadrático y un procedimiento similar al de modelos simplificados.
Utilizando el modelo cuadrático desarrollado por los referidos autores y
aplicando el método de análisis propuesto se obtuvo el mismo resultado de dosis
de insumo para lograr el máximo técnico.

Ejercicio
6: Optimización de la producción agrícola en función de la densidad (Vishnu, 2024).

Objetivo: Determinar la
producción máxima esperada de un cultivo en función de la densidad.

Modelo
cuadrático

Y=
− 1,76X2 + 73,33X − 28,57

REN
= -28,57 + 73,33 X – 1,76 X2 (Modelo adaptado)

Elementos
y Coeficientes del modelo

REN
= rendimiento en kg.ha-1

X =
Densidad en plantas/m2

a =
Intercepto = - 28,57 kg.ha-1 (En este caso, el intercepto no tiene
valor biológico)

b =
Coeficiente lineal = 73,33

c =
Coeficiente cuadrático = - 1,76

Cálculo
de XMáx:

à

=

Cálculo
del máximo técnico YMáx

Modelo:
REN = -28,57 + 73,33 X – 1,76 X2

REN
= -28,57 + 73,33 (21) – 1,76 (21)2

REN
= -28,57 + 1.540 – 1,76 (441) à REN = -28,57 + 1.540 – 776

REN
= 735 kg.ha-1

Decisión

Usando
una densidad de 21 plantas/m2 se logra obtener el máximo técnico del
rendimiento, que se calculó en 735 kg.ha-1.

Nota:
El modelo cuadrático que expone Vishnu
(2024) fue: Y= − 1,76X2 +
73,33X − 28,57. En experimentos de densidad poblacional, cuando X = 0 plantas,
la producción tiene que ser: Y = 0. Por lo tanto, el modelo corregido resultó:
Y = 70,019X – 1,68 X2.

Minimización de los costos:

Ejercicio
7: Minimización de los costos de almacenamiento en función de la humedad del
grano (Smith et al., 2018).

Objetivo: Minimizar los costos de
almacenamiento de granos

Modelo
cuadrático

C =
60 - 10X + 0,6x2

Elementos
y coeficientes del modelo

C =
Costo de almacenamiento en bodega (logística y pérdidas)

X =
Humedad del grano (%) al momento de almacenar

a =
Intercepto = $60 por unidad de almacenamiento cuando X = 0

b =
Coeficiente lineal = 10

c =
Coeficiente cuadrático = 0,6

Cálculo
de

à

à 8,3%
de humedad del grano

Cálculo del costo mínimo

Modelo:
C = 60 - 10X + 0,6x2

C =
60 – 10(8,3) + 0,6(8,3)2  à C =
60 - 83 + 0,6(68,89)

C =
60 - 83 + 41,33 = $ 18,33 por unidad de almacenamiento

Decisión

Se
debe almacenar el grano a una humedad del 8,3% para tener un costo de
$18,33/unidad de almacenamiento. Por arriba de 8,3% de humedad o por debajo,
habrá pérdidas por deterioro del grano y por logística.

Ejercicio
8: Minimización del costo total (C) de fabricar X unidades de producto
(Castañeda, 2018).

Objetivo: Minimizar el costo total de
fabricación de un producto.

Modelo cuadrático

C =
350 – 48X + 3X2

Elementos y Coeficientes del
modelo

C =
Costo total ($)

X =
Unidades de producto

a =
Intercepto = $350 (Costo fijo del proceso)

b =
Coeficiente lineal = 48 (con signo negativo)

c =
Coeficiente cuadrático = 3

Cálculo de

à

à

= 8 unidades de producto

Cálculo
del costo mínimo

Modelo:
C = 350 – 48X + 3X2

C =
350 – 48(8) + 3(8)2  à C =
350 – 384 + 3(64) à  C = 350 – 384 + 192

C =
$158

Decisión

Se
deben producir 8 unidades para tener un costo mínimo de $158.

Para
el cálculo del costo mínimo, Castañeda (2018) utiliza un proceso similar,
aplicando la derivada del modelo cuadrático, con la diferencia que la propuesta
de modelo simplificado se usa el valor absoluto para el coeficiente lineal |b|,
en el cálculo de Xmin.

Optimización de la producción:

Ejercicio
9: Optimización de la fertilización nitrogenada en la producción del maíz
híbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).

Objetivo:
Determinar la
dosis óptima de fertilizantes nitrogenado para maximizar el beneficio
económico.

Modelo
cuadrático

REN
= 4.478 + 87,65 (N) - 0,3651(N)2

Elementos,
coeficientes del modelo e índice económico

REN = Rendimiento de grano (kg.ha-1)

N = X = Dosis de fertilizante nitrogenado:
80…… 160 kg de N ha-1

a  =
Intercepto (rendimiento cuando X = 0)

b = Coeficiente lineal = 87,65

c = Coeficiente cuadrático = - 0,3651 (con
signo negativo)

Cx
= El costo unitario del insumo (urea) = $40/saco de 50 kg à
$0,80/kilo. La urea contiene 46% N, por tanto, un kg N (ingrediente activo)
tiene el costo de 0,80/0,46 = $1,74/kg

Py
= Precio unitario (quintal = 45 kg) de venta del producto = $15/45 kg =
$0,33/kg

Índice
económico:

Cálculo
de XPOE

à

à

kg N.ha-1.

Cálculo
de la producción en el punto óptimo económico

Modelo:
REN = 4.478 + 87,65 (N) - 0,3651(N)2

REN
= 4.478 + 87,65 (113) - 0,3651 (113)2

REN
= 4.478 + 9.904 - 0,3651 (12.769) à REN =
4.478 + 9.904 – 4.662

REN
= 9.720 kg de grano.ha-1

Decisión

Con la aplicación de 113 kg de N.ha-1
se logra producir 9.720 kg de grano.ha-1,
que equivale al punto óptimo económico.

Ejercicio
10: Optimización de la fertilización potásica en la producción del maíz híbrido
ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).

Objetivo: Optimizar la fertilización potásica
nitrogenado para maximizar el beneficio económico en la producción de maíz.

Modelo
cuadrático

REN
= 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2

Elementos,
coeficientes del modelo e índice económico

REN
= Rendimiento de grano (kg.ha-1)

K =
X = Dosis de muriato de potasio (kg.ha-1)

a =
Intercepto = 5.384 kg.ha-1 de rendimiento cuando X = 0.

b =
Coeficiente lineal = 71,81

c =
Coeficiente cuadrático = - 0,3029 (con signo negativo)

Cx
= Costo unitario del Muriato de potasio es $32/saco 50 kg à
$0,64/kg de abono potásico.

Como
MK contiene el 60% de ingrediente activo, el costo del P2O5
es 0,64/0,60 = 1,07/kg

Py
= Precio unitario (quintal) de venta del producto (proyectado) es $15/45 kg =
$0,33/kg

Índice económico

Cálculo
de XPOE

à

à

~ 113 kg de K2O.ha-1

Cálculo
de la producción en el punto óptimo económico

Modelo:
REN = 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2

REN
= 5.384 + 71,81 (113) – 0,3029(113)2

REN
= 5.384 + 8.115 – 0,3029(12.769) à REN = 5.384 + 8.115 – 3.868

REN
= 9.631 kg de grano.ha-1

Decisión

Con la aplicación de 113 kg de K2O.ha-1
se logra producir 9.631 kg de grano.ha-1,
que equivale al punto óptimo económico.

En circunstancias de alta incertidumbre de los
costos de los insumos y de los precios de venta de los productos, el cálculo de
XMax, proyectado a lograr el máximo técnico tiene mayor impacto en
la toma de decisiones de los productores (Pagani et al., 2008).

Los
modelos simplificados, aplicados para maximizar la producción y los beneficios
económicos, así como para minimizar los costos, se han probado como válidos y
de ágil aplicabilidad en los análisis de experimentos agrícolas. Estos modelos
simplificados ofrecen un equilibrio práctico entre precisión y aplicabilidad en
la planificación agrícola, promoviendo eficiencia y resiliencia económica.

Conclusiones

·
En variables de
respuesta del tipo “mayor es mejor”, los modelos cuadráticos simplificados
resultan efectivos para calcular el punto óptimo económico.

·
En variables del
tipo “menor es mejor” como los costos, el modelo cuadrático simplificado
posibilita la minimización de los costos con alta confiabilidad.

·
Los modelos
cuadráticos simplificados, aplicados para maximizar la producción y los
beneficios económicos, así como para minimizar los costos se han probado como
válidos y de ágil aplicabilidad en experimentos agrícolas.

·
Estos modelos
ofrecen un equilibrio práctico entre precisión y aplicabilidad en la
planificación agrícola y en la formulación de recomendaciones, promoviendo
eficiencia y resiliencia económica.

Reconocimientos y
Declaraciones

Se agradece a
Freddy Carlos Gavilánez-Luna y María José Gómez-Vargas, a Geovanny Fabricio
Intriago Cobeña y Diego Armando Quiroz Álava por su autorización el uso de la
información técnica para la validación de los modelos simplificados propuestos.

Los autores declaran
la contribución y participación equitativa de roles de autoría para esta
publicación.

Los autores declaran
que, en la elaboración del presente artículo, no se ha utilizado herramientas
de inteligencia artificial.

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[1] Usando el programa
EXCEL, se agrega la línea de tendencia, direccionándola hacia el tipo
polinómico de grado 2 con la respectiva ecuación y coeficiente de determinación
(R2).