https://doi.org/10.37815/rte.v33n3.799

Artículos originales

Aplicación
del método Newton-Raphson por polinomio cúbicos usando el método
Tartaglia-Cardano

Application of the
Newton-Raphson method by cubic
polynomial using the Tartaglia-Cardano method

Pedro Fabricio
Echeverría Briones1 https://orcid.org/0000-0002-4921-1111

1Universidad
Tecnológica Empresarial de Guayaquil,
Guayaquil, Ecuador

[email-masked], [email-masked]

Enviado:         2021/01/12

Aceptado:       2021/10/18

Publicado:      2021/12/30

Resumen

Algunos de los métodos
usados para encontrar raíces de funciones en las matemáticas aplicadas son los
algoritmos interactivos, que constituyen un campo de interés muy importante
dentro de la disciplina debido a que permiten encontrar soluciones para usar la
menor capacidad de recursos dentro de los sistemas computacionales. La
propuesta de estos algoritmos iterativos implica la relación de diferentes
áreas de las matemáticas: álgebra, cálculo diferencial, cálculo vectorial y
análisis numérico. Esta relación conjuga la teoría de cálculo diferencial y el
análisis numérico realizado por matemáticos ingleses, como Newton y Raphson.
Estos propusieron la primera forma de buscar una raíz de una función usando
iteraciones, la que a su vez se sustentó en teorías algebraicas desarrolladas
por algunos matemáticos italianos, como Tartaglia y Cardano, quienes
anteriormente habían encontrado las soluciones a las raíces de un polinomio de
orden cúbico. Dentro del proceso deductivo que se siguió en el proceso, se
utilizaron las aproximaciones recomendadas que se generaron al aplicar las
Series de Taylor. Por otro lado, durante el proceso de experimentación se han
identificado determinados patrones repetitivos, especialmente, cuando el punto
de inicio se aleja de la raíz. Esto permitió mejorar el algoritmo iterativo al
identificar el lugar de la curva de convergencia.  Finalmente, se generalizó la ecuación
iterativa para muchas variables, a partir de las deducciones utilizadas de 1 y
2 variables.

Palabras clave: iteración, raíz, cero de función, convergencia,
cúbico.

Abstract

Some of the methods employed to find roots of functions in applied
mathematics are interactive algorithms, which is a very important field of
interest within the discipline because they allow finding solutions using the
least number of resources within computational systems. The proposal of these
iterative algorithms involves the relationship of different areas of
mathematics being algebra, differential calculus, vector calculus, and
numerical analysis. This relationship combines the theories of differential
calculus and numerical analysis carried out by English mathematicians, such as
Newton and Raphson. They proposed the first way to find a root of a function
using iterations with the application of algebraic theories of Italian
mathematicians, Tartaglia and Cardano, who had
previously found the solutions to the roots of a cubic order polynomial. Along
the deductive process, the recommended approximations were followed by using
the Taylor series. On the other hand, the experimentation process determined
repetitive patterns, especially when the starting point is far from the root.
This allowed the improvement of the iterative algorithm by identifying the
location of the convergence curve. Finally, the iterative equation was
generalized for many variables using the deductions of 1 and 2 variables.

Keywords: iteration, root, function zero, convergence,
cubic.

Introducción

El método de
Newton-Raphson utiliza demostraciones algebraicas, cálculo diferencial, cálculo
vectorial y análisis numérico para la aproximación de raíces. Cabe señalar que
este método contiene errores de orden cuadrático. Por otro lado, para
determinar las raíces de un polinomio de orden cúbico, se utiliza el método
Tartaglia-Cardano. Esta es la razón por la que el algoritmo iterativo que se
deduce tiene ventajas, pues, al encontrar la raíz de una función usando la raíz
del polinomio cúbico, que se aproxima por series de Taylor, se obtiene un error
de orden cuartico. Esto hace que la convergencia sea más segura, a pesar de que
se usan puntos de inicio muy alejados con respecto al valor de la raíz. La
forma de programación utilizada es sencilla porque el proceso de
experimentación simplemente utiliza una hoja de cálculo. Algunas restricciones
del modelo son que la función tenga una tercera derivada continua diferente de
cero y que existan ciertos intervalos en donde se pueda tener un valor inicial.

Desarrollo

Definición de una
función de una variable  en serie de Taylor

Para formular una
función f(x), que es m veces derivable, en polinomios por serie de Taylor, se
utilizó la ecuación (1) (Leithold, 1998; Burden, Faires, y Burden, 2017):

(1)

Al llevar la serie
de Taylor hasta un polinomio cúbico se tiene:

(2)

Obteniendo:

(3)

Definición
de una función de dos variables   en serie de Taylor

Para formular una
función la cual puede ser m veces derivable, se utiliza su
descomposición en polinomios por serie de Taylor (Colley,
2012; Conte, 1980):

(4)

Resolución
algebraica de Tartaglia-Cardano para polinomios cúbicos

Para el polinomio de
orden cúbico, se debe llevar al modelo de polinomio hacia donde este satisface
a, b y c (Ivorra, 2020):

(5)

Donde una de las
raíces reales cumplirá con:

(6)

Siendo:

(7)

(8)

(9)

Convergencia
del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones de
una variable

Al combinar la serie
de Taylor de la ecuación (3) con la resolución de Newton-Raphson    (Burden,
Faires, & Burden, 2017), se obtiene:

.

(10)

De la ecuación (10)
se tiene que pasar al formato de la ecuación (5), dividiendo para    todos los
términos del polinomio.

(11)

(2)

Encontrando los
valores de a, b y c:

(12)

(13)

(14)

Determinando los
valores de las ecuaciones (7), (8) y (9):

(15)

(16)

(17)

Al aplicar los
valores de las ecuaciones (15), (16) y (17) en la ecuación (5), se determina:

(18)

Al despejar  se determina
el algoritmo iterativo:

(19)

Convergencia
del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones de
dos variables

Aquí se usa el
modelo de Newton-Raphson con el método de Tartaglia-Cardano para una función de
dos variables. Para varias variables, se tiene que utilizar la serie de Taylor,
en donde se realiza una reducción de términos, asumiendo que  cuando  excepto cuando los índices de las sumatorias
sean iguales. Reduciendo la ecuación (4):

(20)

(2)

Donde: j={1,2}, se obtienen los siguientes valores de la ecuación
(5) :

(21)

(22)

Donde: j={1,2}, se obtienen los siguientes valores de las ecuaciones
(6), (7) y (8) :

(23)

(24)

(25)

Al aplicar los
valores de las ecuaciones (23), (24) y (25) en la ecuación (5), se determina:

(26)

Al despejar , se determina el algoritmo iterativo para una
función de dos variables:

(27)

Análisis de resultados

Validación de la convergencia del algoritmo iterativo
para funciones de una variable

A continuación, en los siguientes gráficos, se presentan
los resultados que se obtuvieron de las pruebas que se realizaron con
diferentes funciones, cuyas condiciones fueron que estas tengan la tercera
derivada diferente de cero y en diferentes puntos de inicio:

Figura 1

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para  con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

Figura 2

Curvas de Convergencia de  en escala logarítmica por número de iteración
para con diferentes puntos de inicios alejados de
la raíz

Figura 3

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

Figura 4

Curvas de Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

Figura 5

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración paracon diferentes puntos de inicios alejados de la raíz

A partir de las representaciones gráficas de esta
experimentación, se puede deducir que el algoritmo iterativo tiene dos formas
de convergencia. Este patrón se puede observarse visualmente cuando se aleja el
valor de inicio de la raíz. En resumen, se puede concluir:

1.     Al observar
las curvas de convergencia, se verifica la formación de una línea recta
decreciente entre . Este
proceso es lento. Lo que llama la atención es que para diferentes valores del
punto inicial se obtienen rectas que son casi paralelas.

2.
Cuando la curva se acerca a la raíz, su
convergencia se acelera cambiando la pendiente de la curva rápidamente por cada
iteración.

Esta es la razón por la que se puede determinar una
aceleración al diferenciar cuando esta se encuentra entre los dos
patrones.  A continuación, se presentan
el análisis de los siguientes casos:

a)
Si los , el patrón
se encontraría en los siguientes gráficos:

Figura 6

Curvas de Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para

Figura 7

Curvas de Convergencia de  por número de iteración

Para acelerar la convergencia, se predice el
valor de la distancia del valor de inicio con respecto a la raíz. Si se utiliza
la expresión de la recta por número de iteración n:

(28)

(29)

(30)

Obtenemos la pendiente de la recta m:

(31)

(32)

Obtenemos la intersección de la recta b:

(33)

(34)

Si se establece que y=0, se obtiene el número de
iteraciones n:

(35)

(36)

(37)

Si se convierte n en entero:

(38)

De manera que se determina la distancia entre el valor
inicial y la raíz al obtener

a)     Si los , se
encontraría el patrón en los siguientes gráficos.

Figura 8

Curvas de Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para

Figura 9

Curvas de Convergencia de  por número de iteración

Si este patrón se repite, el primer proceso de
convergencia puede ser acelerado al considerar el patrón de las iteraciones, lo
que, a su vez, puede determinar un procedimiento para calcular la distancia
entre el valor inicial y la raíz.  Si
para esto se utiliza la ecuación de la recta por iteración n:

(39)

(40)

(41)

Obtenemos la pendiente de la recta m:

(42)

(43)

Obtenemos la intersección de la recta b:

(44)

(45)

(46)

Por lo que el modelo sería:

(47)

Si se establece que y=0, se tendría a n:

(48)

(49)

(50)

El valor de n debe ser entero y estar antes de la zona de
convergencia, por lo que se le restará 3 iteraciones.  Obteniendo:

(51)

De manera que se pueda determinar la distancia entre el
valor inicial y la raíz al obtener . Esto
mejora el algoritmo iterativo de la ecuación (27) y permite obtener la
expresión:

(52)

●
Si , entonces

●
Si , entonces

Validación de la convergencia del algoritmo
iterativo utilizando un predictor de distancia entre el punto inicial y la raíz
para funciones de una variable

Considerando los casos anteriores:

a)     Si  en la función , al aplicar
el coeficiente de aceleración, se obtienen menos iteraciones.

Figura 10

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para  con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

a)
Si  en la función  , al aplicar el coeficiente de aceleración, se
obtienen menos iteraciones.

Figura 11

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para   con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

Obsérvese cómo, sin importar la distancia del punto de
inicio, se disminuyen las iteraciones con respecto a la Figura 5.

Validación de la convergencia del algoritmo
iterativo para funciones de dos variables

Para se repiten las curvas de convergencia
(ver Figura 12).

Figura 12

Curvas de
Convergencia de  en escala logarítmica por
número de iteración para   con diferentes puntos de
inicios alejados de la raíz

Conclusiones

Después de las aplicaciones, deducciones algebraicas y
aplicaciones de funciones que ayudan a reducir el número de pasos, se puede
obtener una generalización del algoritmo iterativo para algunas variables:

(53)

Donde j determina las variables y n el número de
iteraciones.

El método de uso de resolución de una raíz
cúbica es un proceso que converge mientras se cumplan las condiciones de los
valores , y esto se obtiene si los valores de . Esto ayuda a definir intervalos de valores en donde no se puede iniciar.

Utilizar la memoria de los valores de las
iteraciones, ayuda a definir modelos matemáticos que permitan acelerar
ecuaciones iterativas.

Las funciones encontradas en las curvas de
convergencias podrían convertirse en un patrón que determine ecuaciones
iterativas para la búsqueda de una raíz en diferentes funciones.

Referencias

Leithold, L.
(1998). El Cálculo. México: Oxford
University Press.

Artega, J.,
& Malakhaltsev, M. (2013). Cálculo
Vectorial. Mexico: Cengage Learning Editores S.A.

Burden, R.,
Faires, D., & Burden, A. (2017). Análisis numérico. México: Cengage
Learning.

Colley, S. (2012). Vector
Calculus. New York: Pearson.

Conte, S. D. (1980). Elementary numerical analysis: algorithmic approach. New York:
McGraw-Hill.

Marsden, J., & Tromba, A. (1991). Cálculo vectorial. México DF:
Addison-Wesley Iberoamericana.

Taylor, A. E., & Mann, W. R. (1983). Advanced Calculus. New York: Wiley.

Weintraub, S. (1996). Differential forms, a complement to vector calculus. New York:
Academic Press.

Ivorra, C.
(2020, 10 01). Las fórmulas de Cardano-Ferrari. Retrieved
from Universidad de Valencia: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf