https://doi.org/10.37815/rte.v37n2.1321
ArtÃculos originales
Maximización de la producción agrÃcola y del be=
neficio
económico: Aplicación simplificada del modelo cuadrático<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk71631670'>
Maximizing agricultural production and economic profit: Simplified a=
pplication
of the quadratic model
Luis
Alberto Duicela Guambi1
Ãngel
Monserrate Guzmán Cedeño1, 2 =
https://orcid.org/0000-0001-7057-80=
68, Osvaldo Fosado Téllez3 https://orcid.org/0000-0002-2245-29=
43
=
1Esc= uela Superior Politécnica Agropecuaria de Manabà Manuel Félix López, Calceta, Ecuador<= o:p>
luis.duicela@espam.edu.ec, aguzman@espam.edu.ec
2Uni=
versidad
Laica Eloy Alfaro de ManabÃ, Manta, Ecuador
3Uni=
versidad
Técnica de ManabÃ, Portoviejo, Ecuador
Enviado:Â Â Â Â=
  2025/05/24
Aceptado:Â Â Â Â Â Â 2025/07/15
Publicado:
    2025/12/15
Resumen
Sumario: Introducción, =
MetodologÃa, Resultados y Discusión, Conclusiones. Como citar:<=
/span> Duicela, L., Guzmán, A. & Fosado, O. (2025). Maximizació=
n de
la producción agrÃcola y del beneficio económico: Aplicación simpl=
ificada
del modelo cuadrático. Revista Tecnológica - Espol, 37(2),=
113-131. https://rte.espol.edu.ec/index.php/tecnologica/article/view/1321=
La
maximización de la producción y del beneficio económico, asà como la
minimización de costos, busca satisfacer la demanda alimentaria, impulsar =
la
seguridad alimentaria y mejorar la rentabilidad de los agricultores. Este
trabajo tiene como objetivo validar la aplicación de tres modelos cuadrát=
icos
simplificados para la optimización de los rendimientos agrÃcolas en funci=
ón de
los insumos. En investigaciones cuantitativas, donde la variable de respues=
ta
es del tipo “mayor es mejorâ€, se verifica la ley de rendimientos decrec=
ientes,
donde los modelos cuadráticos simplificados resultan prácticos para calcu=
lar
máximos técnicos y el punto óptimo económico. En variables del tipo “=
menor es
mejor†como los costos, el modelo cuadrático simplificado posibilita la =
minimización
de los costos con alta confiabilidad. Los modelos simplificados, aplicados =
para
maximizar la producción y beneficios económicos, asà como para minimizar=
costos
se han probado como válidos y son de ágil aplicabilidad en la experimenta=
ción
agrÃcola.
=
Pa=
labras
clave: =
Análisis
microeconómico, eficiencia productiva, máximo técnico, óptimo económic=
o.
Abstract
Maximizing production and econ=
omic
profit, as well as minimizing costs, aims to meet food demand, boost food
security, and improve farmers' profitability. This study aims to validate t=
he
application of three simplified quadratic models for optimizing agricultural
yields based on inputs. In quantitative research where the response variabl=
e is
"higher is better," the law of diminishing returns is verified, a=
nd
simplified quadratic models prove practical for calculating technical maxim=
ums
and the economic optimum. For "lower is better" variables such as
costs, the simplified quadratic model enables cost minimization with high
reliability. Simplified models, applied to maximize production and economic
profit, as well as to minimize costs, have proven valid and easily applicab=
le
in agricultural experimentation.
Introducción
La agricultura ha sido un pilar fun= damental en el desarrollo de la humanidad, orientada históricamente a satisfacer la creciente demanda de alimentos, fibras y forrajes mediante el incremento de= la productividad (FAO, 2011). En la actualidad, este objetivo persiste, impuls= ado por la incorporación de variedades mejoradas, tecnologÃas y el uso eficie= nte de insumos agrÃcolas como fertilizantes, pesticidas, semillas y maquinaria (AGROCALIDAD, 2023).
El uso eficiente de estos insumos n= o solo busca aumentar los rendimientos y reducir las pérdidas por plagas o enfermedades, sino también garantizar la calidad del producto final, minimizando los impactos ambientales (TOTVS, 2024). Para ello, la agricultu= ra moderna recurre a herramientas de precisión y modelos analÃticos que perm= itan tomar decisiones óptimas en contextos de recursos limitados para optimizar los procesos de pro= ducción agropecuaria, haciendo que la agricultura sea más eficiente y rentable (Best et al., 2014).
Sin embargo, un problema frecuente =
en la
investigación agropecuaria es que muchos ensayos experimentales se limitan=
a
describir los efectos de diferentes dosis de insumos sobre la producción, =
sin
proporcionar recomendaciones técnicas y económicas concretas (Gómez &
Gómez, 1984; Pagani et al., 2008). Esto se debe, en parte, al uso limitado=
de
modelos matemáticos que relacionen insumo y producto, lo que impide identi=
ficar
niveles óptimos de aplicación para maximizar la producción o rentabilida=
d. Arias et al. (2021), enfatiza en q=
ue la
investigación de operaciones y el diseño de modelos de optimización son
fundamentales en el desarrollo de soluciones prácticas a los problemas de
producción; sobre todo, en el sector agrÃcola que necesita de insumos té=
cnicos
para desarrollar estrategias para maximizar los beneficios, que se identifi=
ca
como optimización.
Desde la microeconomÃa y la invest= igación operativa, se han desarrollado herramientas como el análisis de regresión= y modelos cuadráticos que permiten estimar el máximo técnico, el mÃnimo c= osto y el punto óptimo económico (Castán-Farrero, 1988; Huerta, 2001; CIMMYT, 1= 988). Estos modelos constituyen una base sólida para la optimización de la prod= ucción agrÃcola en función de uno o más factores.
Para de= cidir las recomendaciones apropiadas en términos económicos, a partir de experiment= os agrÃcolas, analizando la función producción o función rendimiento (Cast= án, 1988), hay varias opciones que dependen del tipo de modelo. Matute et al. (2023), Muinelo (2012), Pontón (2010), Huerta (2001), el Centro Internacio= nal de Mejoramiento de MaÃz y Trigo (CIMMYT, 1988) y Gómez & Gómez (1984= ), entre otros, han propuesto alternativas de análisis microeconómico; por lo tanto, este estudio tiene como obje= tivo general validar la aplicación de tres modelos cuadráticos simplificados p= ara optimizar los rendimientos agrÃcolas en función del uso de insumos.
Los objetivos especÃficos son los siguientes:
·&n= bsp; Maximizar la producción agrÃcola determinando la dosis de insumo asociada al máximo técnico.
·
Minimizar los costos de
producción mediante la estimación de la dosis óptima de menor costo.<=
/i>
·
Maximizar el beneficio
económico identificando la dosis de insumo correspondiente al punto óp=
timo
económico (POE).
MetodologÃa
Función producción
La función=
producción
permite comprender cuánto se puede producir con una cantidad determinada de
insumos. En los experimentos agrÃcolas, normalmente se estudian uno o más
factores con niveles de tipo cuantitativo (p.e.: dosis de nitrógeno) o
cualitativo (alternativas de fertilización orgánica), que constituyen las
variables independientes, y se miden sus efectos sobre una variable dependi=
ente
como el rendimiento de grano (Corral, 2019).
Al anal=
izar una
función producción en agricultura, cuando un producto depende de un insum=
o, el
modelo cuadrático (Y =3D a + bX + cX2), es el más adecuado (Co=
rchuelo
y Quiroga, 2014; Debertin, 2012). La validez del modelo puede verificarse c=
on
el Coeficiente de determinación (R2), que se usa como prueba de
bondad de ajuste. El Coeficiente R2, s=
egún
Gómez & Gómez (1984), es una medida estadÃstica que indica la propor=
ción de
la variación total de la variable dependiente (Y) que es explicada por la
variable independiente (X). Las variables independientes (factores en estud=
io),
frecuentemente estudiadas son: dosis de fertilizantes, densidad poblacional, dosis de plaguicidas y lámina=
s de
agua, que se configuran como tratamientos. El efecto de los tratamientos se
mide a través de variables de respuesta (Corral, 2019), como son el rendim=
iento
de grano.ha-1 y la producción de biomasa, frutos/planta o peso =
de
racimo.
Los dat=
os
experimentales se pueden analizar usando las técnicas de regresión para
elaborar modelos matemáticos bivariados [Y =3D f(X)], describir la
relación entre insumo (input) y producto (output), y predecir su comportam=
iento
futuro en condiciones tecnológicas y biofÃsicas concretas (Sydsaeter y Hammond =
1996; Doll
& Orazem, 1978).
Con la información de los experime= ntos de campo o laboratorio, se inicia elaborando un dispersograma[1], para visualizar la tendencia de los datos en el plano cartesiano. En el cas= o de haber datos atÃpicos u “Outliersâ€, estos se corrigen o se descartan; l= uego, se traza la lÃnea de tendencia apropiada y se define el modelo que mejor expl= ique la función producción. Un gráfico Y =3D f (X), realizado con programas estadÃsticos, proporciona el modelo matemático y su coeficiente de determinación (R2). Un valor de R2 cercano a la unid= ad es un indicativo de la validez del modelo matemático.
La función producción, como modelo
cuadrático, se representa en el gráfico 1. Según Debertin (2012) y Salvatore (2009),
la función producción de tipo cuadrática presenta tres etapas. En la eta=
pa I,
los niveles de uso del insumo responden a tasas más que proporcionales y se
conoce como la “etapa de rendimientos crecientesâ€. La etapa II indica l=
os
niveles de insumo donde la producción aumenta a tasas decrecientes, por es=
o se
conoce como la “etapa de rendimientos decrecientes†o “etapa económi=
ca†y en
esta se encuentran los niveles de insumo que permiten maximizar ganancias (=
POE)
o maximizar la producción (PMáx). La etapa III corresponde al =
uso de
los niveles de uso del insumo, donde la producción disminuye y es conocida=
como
la etapa de “etapa de rendimientos negativos†(Salvatore, 2009).<=
/span>
La prod=
ucción
total a la cantidad de producto se obtiene con cada nivel de insumo. La
producción total (Y) es la cantidad total de unidades fÃsicas (t, kg, g) =
que
varÃa en función de los cambios en la cantidad de insumo aplicado (X), (G=
ómez
& Gómez, 1984). La producción promedio con insumo variable, por lo ge=
neral,
primero crece, llega al máximo y después decrece (Salvatore, 2009).
El modelo cuadrático explica el fe=
nómeno de
causalidad (Walpole et al., 2012; Gómez
& Gómez, 1984). La
función de producción: Y =3D a + bX - cX2 se relaciona c=
on la
ley de los rendimientos decrecientes (Ley de Mitscherlich), donde se indica=
que
a cada incremento de la dosis del factor limitante que se encuentra en menor
cantidad corresponde un incremento en la producción, que tienden a ser cad=
a vez
más reducidos, hasta llegar a un incremento nulo (Castán, 1988).
Figura 1
Función producción de tipo cuad= rática
Para la maximización de la producc= ión (máximo técnico) y de los beneficios netos (óptimo técnico) se usa el c= álculo diferencial (Corchuelo y Quiroga, 2014; Sydsaeter y Hammond, 1996; Doll &am= p; Orazem, 1978). La función producción: Y =3D f(X), al ponerla en valor ($)= se convierte en una función económica: $Y =3D f($X), como se expone e= n el gráfico 2.
En general, se piensa en términos marginales, ya sea como Producto marginal o como Costo marginal. El Producto marginal se refiere al incremento de la producción por cada unidad adicion= al del insumo usada en el proceso productivo; mientras que el Costo marginal e= s el incremento en los costos totales debido al aumento de una unidad de producto (Mankiw, 2012).
El Costo marginal (CMg) = se expresa mediante la siguiente fórmula:
Dónde:
C Mg =3DCosto marginal
CT =3D Costo total (costos fijos + = costos variables)
=
<=
span
lang=3DES-EC style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";position:relative;top:3.0pt;
mso-text-raise:-3.0pt;mso-font-kerning:0pt;mso-ligatures:none;mso-ansi-lang=
uage:
ES-EC;mso-fareast-language:ES-TRAD;mso-bidi-language:AR-SA'>
El costo total es el valor de merca= do de todos los insumos usados en la producción (Mankiw, 2012) que resulta de la sumatoria de los costos fijos y los costos variables. El presente análisis trata sobre el análisis marginal, por lo que se identifica como “Costo t= otal que varÃa†(CT1 à CT2), refiriéndose al incremento del costo por el incremento de la cantidad de insumos (X1 à X2), usada en el proceso productivo.
Máximo Técnico
El máx=
imo técnico
es concebido como el nivel de producción máximo que se puede obtener al ir
aumentando las cantidades (niveles) del factor en estudio, después de lo c=
ual
la producción puede permanecer constante o disminuir.
A parti=
r del
modelo cuadrático de la función producción se =
aplica la
teorÃa del cálculo diferencial, que se inicia con el cálculo de la primera derivada de la función pr=
oducción.
Esta primera derivada se iguala a cero y se obtiene el valor XMax que
es la cantidad de insumo asociada al máximo técnico.
Mode=
lo
cuadrático
Y =3D a=
+ bX - cX2.
Nota: Tomar en cuenta que el coeficiente
cuadrático tiene signo negativo (- c).
Figura 2
Producción de maÃz ADVANTA 9313= en función de las dosis de nitrógeno
Cálculo de la primera derivada<=
/span>
Por
lo tanto: <=
!--[if gte msEquation 12]>
Por lo tanto, la primera derivada es:
Y´=3D b – 2(cX)
Para calcular el máximo técnico, la primera
derivada se iguala a cero
 b =
– 2(cX) =3D
0
En este=
momento
del análisis, X representa la cantidad de insumo (XMáx) requer=
ida
para obtener la producción máxima o máximo técnico (YMáx).
Resolviendo la operación: b – 2(cX) Ã
b =3D 2cX.
De este modo se obtiene el modelo simplifica=
do
para maximizar la producción.
Modelo para maximizar la producción
Dónde:=
XM=
áx =3D
dosis de insumo asociada al máximo técnico (máxima producción esperada)=
.
b =3D C=
oeficiente
del componente lineal
c =3D C=
oeficiente
del componente cuadrático. En este caso tiene signo negativo, por lo que e=
n la
fórmula simplificada se usa como valor absoluto.
Minimización de los Costos
La mini=
mización
de costos es una estrategia empresarial que busca reducir los gastos y aume=
ntar
las ganancias. Se trata de hacer más con menos, o producir lo mismo con me=
nores
costos. El modelo cuadrático de la función costo tiene la curva hacia aba=
jo (gráfico
3):
Modelo cuadrático
Y =3D a=
– bX + cX2
    Â
Dónde:=
Y =3D V=
ariable
dependiente. En este caso el costo total del proceso productivo
X =3D V=
ariable
independiente
a =3D I=
ntercepto
b =3D C=
oeficiente
lineal. En este caso tiene signo
negativo.
c =3D C=
oeficiente
cuadrático
Nota: Tomar en cuenta que el coeficiente lin= eal (b) tiene signo negativo.
El proc=
edimiento
para obtener el modelo simplificado para minimizar los costos es igual al
anterior, con la particularidad de que el coeficiente b tiene signo negativ=
o.
En la fórmula se coloca como valor absoluto
Modelo para minimizar el costo
Dónde:=
Xm=
in =3D
dosis de insumo asociada al mÃnimo costo
b =3D C=
oeficiente
lineal. Como tiene signo negativo, se usa el valor absoluto
c =3D C=
oeficiente
del componente cuadrático
Figura 3
Relación entre humedad del grano y costos de almacenamiento
Optimización del Rendimiento
La optimización del rendimiento es equivalente a la maximización del beneficio neto. Para este análisis se requiere de la información económica, expresada en el Ãndice económico, calculado como la relación entre costo unitario del insumo (Cx)= y precio unitario de venta del producto (Py) (Doll & Orazem, 1978). Luego de calcular la primera derivada de la función producción, se iguala al Ãndice económico (Cx/Py) y de este modo se determina la cantidad de insumo XPOE requerida para lograr el mÃ= ¡ximo beneficio neto YPOE (gráfico 4).
El valor del intercepto (a) es la c= antidad de producto obtenido (Y) cuando X =3D 0; por ejemplo: en un ensayo de fertilización, en el testigo absoluto (sin fertilización), se logrará un= nivel de producción, porque hay remanente del nutrimentos en el suelo.
Mode=
lo
cuadrático
Y =3D a=
+ bX - cX2
La prim=
era
derivada, calculada con el procedimiento indicado para la maximización de =
la
producción, es la siguiente:
Para la
optimización del rendimiento (maximizar los beneficios económicos), la pr=
imera
derivada se iguala al Ãndice económico, que es la relación entre el costo
unitario del insumo y el precio unitario de venta del producto:
Por lo tanto: b – 2(cX) =3D
Figura 4
Función económica agrÃcola aju=
stada al
modelo cuadrático
En este=
momento
del análisis, X representa la cantidad de insumo (XPOE) requeri=
da
para lograr el punto óptimo económico (YPOE). De este modo, se
obtiene el modelo simplificado para maximizar los beneficios netos que equi=
vale
a optimizar el rendimiento.
Modelo para optimizar el rendimi= ento
Dónde:=
XP=
OE =3D
dosis de insumo asociada al punto óptimo económico.
b =3D C=
oeficiente
del componente lineal
c =3D C=
oeficiente
del componente cuadrático. En este caso con signo negativo, por lo que en =
la
fórmula se usa como valor absoluto
Aplicación de los Modelos
Se
desarrollan 10 ejercicios de aplicación de los modelos cuadráticos para la
maximización de la producción, minimización de los costos u optimizació=
n del
rendimiento. Los datos usados en la aplicación de los modelos corresponden=
a
estudios realizados por Gavilánez y Gómez (2022) en rendimiento de maÃz =
en
función de fertilizantes nitrogenados (N), fosfatados (P2O=
5)
y potásicos (K2O); Intriago y Quiroz (2018), en biomasa del pas=
to
maralfalfa en función de la fertilización con nitrógeno (N) y azufre (S)=
; Gómez
y Gómez (1984), en rendimiento d=
e arroz
en función de fertilizante nitrogenado; Vishnu (2024), en rendimiento de
cultivos en función de densidades
poblacionales; Smith et al. (2018), en almacenamiento de grano en función =
de la
humedad; y Castañeda (2018), en minimización de los costos para la fabric=
ación
de productos.
La
decisión de maximizar o minimizar depende del tipo de variable de respuest=
a,
que puede ser: Mayor es mejor (p.e.: Mayor rendimiento), menor es mejor (p.=
e.:
Incidencia de plagas en cultivos) o nominal es mejor (p.e.: amarillo es mej=
or)
(Cruz et al., 2012). En el presente trabajo se analizan las variables “ma=
yor es
mejor†y “menor es mejorâ€.
Maximización de la producción:
Ejercicio 1: Determinación de la dosis de nitrógeno para una máxima producción de= l maÃz hÃbrido Advanta 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022)
En un experimento factorial incompleto de 15 tratamientos en tres repeticiones= con arreglo a un diseño central compuesto (DCC), Gavilánez y Gómez (2022), s= e probaron dosis de N, P y K sobre el rendimiento del maÃz hÃbrido ADVANTA 9313.
Objetivo:
Determin=
ar la
dosis de nitrógeno que permita lograr el máximo rendimiento.
Modelo cuadrático
REN
=3D 5.315 + 68,24 (N) - 0,2765 (N)2
Elementos y Coeficientes del modelo
REN =3D Rendimiento en kg de grano.ha-1.
X =3D N. Dosis del insumo (Ingrediente activo N): X =3D 80, ……. 160 kg nitró= geno.ha-1
a =3D Intercepto =3D 5315 kg de grano.ha-1
b =3D Coeficiente lineal =3D 68,24
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 0,2765
Cálculo de XMáx.=
Cálculo
del máximo técnico (YMáx)
Modelo:
REN =3D 5.315 + 68,24 (N) - 0,2765 (N)2
RENMax =
=3D 5.315 +
68,24 (123) - 0,2765(123)2
RENMax
=3D 5.315 + 8.394 – 4.183 =3D 9.526 kg de grano.ha-1
Decisión
Aplicando 123 kg de N.ha-1, se obtiene 9.526 kg de grano.ha-1 q= ue es la máxima producción esperada con la fertilización nitrogenada.
Usando el programa MINITAB, Gavilánez y Gómez (2022), llegaron a la conclusión = que los mayores rendimientos de maÃz ADVANTA 9313, se obtienen con la aplicación = de 110 a 140 kg.ha-1, que es un rango muy amplio. Con el modelo cuadrá= tico simplificado se determinó que aplicando 123 kg N.ha-1 se puede obtener 9.526 kg de grano.ha-1, el máximo técnico.<= /span>
Ejercicio 2: Determinación de la dosis de fósforo para una máxima producción del = maÃz hÃbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).
Objetivo:
Determin=
ar la
dosis de fósforo que permita lograr el máximo rendimiento.
Modelo cuadrático
REN =3D 5.459 + 135,22 (P) – 1,1046(P)2
Elementos y Coeficientes del modelo
REN =3D Rendimiento de maÃz (kg.ha-1)
X =3D P. Dosis del insumo (Ingrediente activo P2O5): X =3D = 40, ……=3D 80 kg.ha-1
a =3D Intercepto =3D 5459 kg de grano.ha-1e
b =3D Coeficiente lineal =3D 135,22
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 1,1046
Cálculo de XMáx.=
Cálculo
del máximo técnico (YMáx)
Modelo: REN =3D 5.459 + 135,22 (P) – 1,1046(P)2
REN =3D 5.459 + 135,22 (61) – 1,1046(61)2
REN
=3D 5.459 + 8.248 – 4.110 =3D 9.597 kg de grano.ha-1
Decisión
Aplicando 61 kg de P2O5= .ha-1 se logra una producción máxima de 9.597 kg de g= rano.ha-1.
Usando el programa MINITAB, Gavilánez y Gómez (2022), determinaron que las dosis apropiadas de fósforo varÃan de 50 a 70 kg.ha-1. Aplicando el = modelo simplificado se determinó que el máximo técnico se logra con 61 kg de P<= sub>2O5 ha-1. En un experimento similar, en Colombia, Bernal et al. (201= 4), usando el programa SAS para el análisis de las curvas de respuesta, determinaron 90 kg de P2O5 ha-1 como mejor dosis.
Ejercicio 3: Determinación de la dosis de potasio para una máxima producción del m= aÃz hÃbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).
Objetivo:
Determin=
ar la
dosis de potasio que permita lograr el máximo rendimiento.
Modelo cuadrático
REN
=3D 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2
Elementos y coeficientes del modelo
REN =3D Rendimiento de grano (kg. ha-1)
K =3D X =3D Dosis del insumo (Ingrediente activo K2O): X =3D 80, …â€= ¦. 160 kg.ha-1
a =3D Intercepto =3D 5384 kg.ha-1, cuando X =3D 0
b =3D Coeficiente lineal =3D 71,81
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 0,3029 (con signo negativo)
Cálculo
de XMax:
Cálculo de BIOM Máx
Modelo:
BIOM=3D 13,69 + 0,029 S - 0,0001 S2
BIOM
Máx =3D 13,69 + 0,029 (145) - 0,0001 (145)2
BIOM Máx =3D 15,80 kg.parcela-1
Decisión
Usando 145 kg de S.ha-1 se puede producir 15,80 kg.parcela-1= de biomasa fresca del pasto maralfalfa que equivale a 17,56 t.ha-1.=
Ejercicio 5: Rendimiento de grano de arroz probado con cinco dosis de nitrógeno en la estación húmeda (Gómez & Gómez, 1984).
Objetivo: Determin=
ar la
cantidad de insumo que posibilite la producción máxima.
Modelo cuadrático
Y =3D 4,675 + 0,0477 N – 0,000366 N2.Â
R2 =3D 0,97
Elementos y Coeficientes del modelo
Y =3D
Rendimiento de arroz en t.ha-1
X =3D N. Dosis de fertilizante nitrogenado (kg de N.ha-1)
a =3D Intercepto =3D 4,675 (intercepto)
b =3D Coeficiente lineal =3D 0,0477
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 0,000366
Cálculo de XMáx
Cálculo del rendimiento máximo
Modelo: Y =3D 4,675 + 0,0477 N – 0,000366 N2.Â
YMáx =3D 4,675 + 0,0477 (65,2) – 0,000366(65,2)2.
YMáx =3D 4,675 + 3,11 – 0,000366(4.251)
YMáx
=3D 4,675 + 3,11 – 1,556 =3D 6,23 t.ha-1
Decisión
La dosis de insumo 65,2 Kg de N.ha-1 posibilita la obtención del m= áximo rendimiento de arroz, que se estimó en 6,23 t.ha-1.
En un ensayo de arroz, en época lluviosa, Gómez & Gómez (1984), desarro= llaron un modelo cuadrático y un procedimiento similar al de modelos simplificado= s. Utilizando el modelo cuadrático desarrollado por los referidos autores y aplicando el método de análisis propuesto se obtuvo el mismo resultado de= dosis de insumo para lograr el máximo técnico.
Ejercicio 6: Optimización de la producción agrÃcola en función de la densidad (Vishnu, 2024).=
Objetivo: Determin= ar la producción máxima esperada de un cultivo en función de la densidad.
Modelo cuadrático
Y=3D
− 1,76X2 + 73,33X − 28,57 =
REN =3D -28,57 + 73,33 X – 1,76 X2 (Modelo adaptado)=
Elementos y Coeficientes del modelo
REN
=3D rendimiento en kg.ha-1
X =3D Densidad en plantas/m2
a =3D
Intercepto =3D - 28,57 kg.ha-1 (En este caso, el intercepto no t=
iene
valor biológico)
b =3D Coeficiente lineal =3D 73,33
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 1,76
Cálculo
de XMáx:
Cálculo
del máximo técnico YMáx
Modelo: REN =3D -28,57 + 73,33 X – 1,76 X2
REN
=3D -28,57 + 73,33 (21) – 1,76 (21)2
REN =3D -28,57 + 1.540 – 1,76 (441) à REN =3D -28,57 + 1.540 – 776
REN
=3D 735 kg.ha-1
Decisión
Usando una densidad de 21 plantas/m2 se logra obtener el máximo técni= co del rendimiento, que se calculó en 735 kg.ha-1.
Nota: El modelo cuadrático que expone = Vishnu (2024) fue: Y=3D − 1,76X= 2 + 73,33X − 28,57. En experimentos de densidad poblacional, cuando X =3D 0 p= lantas, la producción tiene que ser: Y =3D 0. Por lo tanto, el modelo corregido re= sultó: Y =3D 70,019X – 1,68 X2.
Minimización de los costos:
Ejercicio 7: Minimización de los costos de almacenamiento en función de la humedad = del grano (Smith et al., 2018).
Objetivo: Minimizar los costos de
almacenamiento de granos
Modelo cuadrático
C =3D
60 - 10X + 0,6x2
Elementos y coeficientes del modelo         = Â
C =3D Costo de almacenamiento en bodega (logÃstica y pérdidas)
X =3D Humedad del grano (%) al momento de almacenar
a =3D Intercepto =3D $60 por unidad de almacenamiento cuando X =3D 0
b =3D Coeficiente lineal =3D 10
c =3D Coeficiente cuadrático =3D 0,6
Cálculo
de
Cálculo del costo mÃn=
imo
Modelo:
C =3D 60 - 10X + 0,6x2
C =3D 60 – 10(8,3) + 0,6(8,3)2 <= /sup>à C =3D 60 - 83 + 0,6(68,89)
C =3D 60 - 83 + 41,33 =3D $ 18,33 por unidad de almacenamiento
Decisión
Se debe almacenar el grano a una humedad del 8,3% para tener un costo de $18,33/unidad de almacenamiento. Por arriba de 8,3% de humedad o por debajo, habrá pérdidas por deterioro del grano y por logÃstica.
Ejercicio 8: Minimización del costo total (C) de fabricar X unidades de producto (Castañeda, 2018).
Objetivo: Minimizar el costo total=
de
fabricación de un producto.
Modelo cuadrático
C =3D 350 – 48X + 3X2
Elementos y Coeficiente=
s del
modelo
C =3D Costo total ($)
X =3D Unidades de producto
a =3D Intercepto =3D $350 (Costo fijo del proceso)
b =3D Coeficiente lineal =3D 48 (con signo negativo)
c =3D Coeficiente cuadrático =3D 3
Cálculo de
Cálculo del costo mÃnimo
Modelo: C =3D 350 – 48X + 3X2
C =3D 350 – 48(8) + 3(8)2 = à C =3D 350 – 384 + 3(64) à  C =3D 350 – 384 += 192
C =3D $158
Decisión
Se deben producir 8 unidades para tener un costo mÃnimo de $158.
Para el cálculo del costo mÃnimo, Castañeda (2018) utiliza un proceso similar, aplicando la derivada del modelo cuadrático, con la diferencia que la prop= uesta de modelo simplificado se usa el valor absoluto para el coeficiente lineal = |b|, en el cálculo de Xmin.
Optimización de la producción:
Ejercicio 9: Optimización de la fertilización nitrogenada en la producción del maÃ= z hÃbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).
Objetivo:
Determin=
ar la
dosis óptima de fertilizantes nitrogenado para maximizar el beneficio
económico.
Modelo cuadrático
REN =3D 4.478 + 87,65 (N) - 0,3651(N)2
Elementos, coeficientes del modelo e Ãndice económico
REN =3D Rendimiento de grano (kg.ha
N =3D X =3D Dosis de fertilizante nitr=
ogenado:
80…… 160 kg de N ha-1
a <=
/span>=3D
Intercepto (rendimiento cuando X =3D 0)
b =3D Coeficiente lineal =3D 87,65
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 0,=
3651 (con
signo negativo)
Cx =3D El costo unitario del insumo (urea) =3D $40/saco de 50 kg à $0,80/kilo. La urea contiene 46% N, por tanto, un kg N (ingrediente activo) tiene el costo de 0,80/0,46 =3D $1,74/kg
Py =3D Precio unitario (quintal =3D 45 kg) de venta del producto =3D $15/45 kg= =3D $0,33/kg
Ãndice
económico:Â
Cálculo
de XPOE
Cálculo de la producción en el punto óptimo económico
Modelo:
REN =3D 4.478 + 87,65 (N) - 0,3651(N)2
REN
=3D 4.478 + 87,65 (113) - 0,3651 (113)2
REN =3D 4.478 + 9.904 - 0,3651 (12.769) à REN =3D 4.478 + 9.904 – 4.662
REN
=3D 9.720 kg de grano.ha-1
Decisión
Con la aplicación de 113 kg de N.ha
Ejercicio 10: Optimización de la fertilización potásica en la producción del maÃ= z hÃbrido ADVANTA 9313 (Gavilánez y Gómez, 2022).
Objetivo: Optimizar la fertilización potásica
nitrogenado para maximizar el beneficio económico en la producción de maÃ=
z.
Modelo cuadrático
REN
=3D 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2
Elementos, coeficientes del modelo e Ãndice económico
REN =3D Rendimiento de grano (kg.ha-1)
K =3D X =3D Dosis de muriato de potasio (kg.ha-1)
a =3D Intercepto =3D 5.384 kg.ha-1 de rendimiento cuando X =3D 0.
b =3D Coeficiente lineal =3D 71,81
c =3D Coeficiente cuadrático =3D - 0,3029 (con signo negativo)
Cx =3D Costo unitario del Muriato de potasio es $32/saco 50 kg <= span style=3D'mso-bookmark:_Toc38966068'>à $0,64/kg de abono potásico.
Como MK contiene el 60% de ingrediente activo, el costo del P2O5= es 0,64/0,60 =3D 1,07/kg
Py =3D Precio unitario (quintal) de venta del producto (proyectado) es $15/45 = kg =3D $0,33/kg
Cálculo de XPOE
Cálculo de la producción en el punto óptimo económico
Modelo:
REN =3D 5.384 + 71,81 (K) – 0,3029(K)2
REN
=3D 5.384 + 71,81 (113) – 0,3029(113)2
REN
=3D 5.384 + 8.115 – 0,3029(12.769) à REN =3D 5.384 + 8.115 – 3.868
REN
=3D 9.631 kg de grano.ha-1
Decisión
Con la aplicación de 113 kg de K2= O.ha-1 se logra producir 9.631 kg de grano.ha-1, que equivale al punto óptimo económico.
En circunstancias de alta incertidumbre de l=
os
costos de los insumos y de los precios de venta de los productos, el cálcu=
lo de
XMax, proyectado a lograr el máximo técnico tiene mayor impact=
o en
la toma de decisiones de los productores (Pagani et al., 2008).
Los
modelos simplificados, aplicados para maximizar la producción y los benefi=
cios
económicos, asà como para minimizar los costos, se han probado como váli=
dos y
de ágil aplicabilidad en los análisis de experimentos agrÃcolas. Estos m=
odelos
simplificados ofrecen un equilibrio práctico entre precisión y aplicabili=
dad en
la planificación agrÃcola, promoviendo eficiencia y resiliencia económic=
a.
· =
En variables de
respuesta del tipo “mayor es mejorâ€, los modelos cuadráticos simplific=
ados
resultan efectivos para calcular el punto óptimo económico.
· =
En variables del
tipo “menor es mejor†como los costos, el modelo cuadrático simplifica=
do
posibilita la minimización de los costos con alta confiabilidad.
·
Los modelos
cuadráticos simplificados, aplicados para maximizar la producción y los
beneficios económicos, asà como para minimizar los costos se han probado =
como
válidos y de ágil aplicabilidad en experimentos agrÃcolas.
·
Estos modelos
ofrecen un equilibrio práctico entre precisión y aplicabilidad en la
planificación agrÃcola y en la formulación de recomendaciones, promovien=
do
eficiencia y resiliencia económica.
Reconocimient=
os y
Declaraciones
Se agra=
dece a
Freddy Carlos Gavilánez-Luna y MarÃa José Gómez-Vargas, a Geovanny Fabr=
icio
Intriago Cobeña y Diego Armando Quiroz Ãlava por su autorización el uso =
de la
información técnica para la validación de los modelos simplificados prop=
uestos.
Los autores de=
claran
la contribución y participación equitativa de roles de autorÃa para esta
publicación.
Los autores de=
claran
que, en la elaboración del presente artÃculo, no se ha utilizado herramie=
ntas
de inteligencia artificial.
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Usando el progr=
ama
EXCEL, se agrega la lÃnea de tendencia, direccionándola hacia el tipo
polinómico de grado 2 con la respectiva ecuación y coeficiente de determi=
nación
(R2).
5
Maximización de la producción agrÃcola y del
beneficio económico: Aplicación simplificada del modelo cuadrático