https://doi.org/10.37815/rte.v36n1.1146

Artículos originales

Resolución del problema de optimización bi-objetivo
para el despacho de plantas hidroeléctricas en condiciones de bajo caudal de
entrada utilizando el algoritmo NSGA II

Resolution of the bi-objective optimization problem for the dispatch of
hydroelectric plants under conditions of low inflow using the NSGA II algorithm

César
A. Yajure-Ramírez1 https://orcid.org/0000-0002-3813-7606

1Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela

[email-masked]

Enviado:         2024/03/06

Aceptado:       2024/06/02

Publicado:
2024/06/30

Resumen

Entre las consecuencias del cambio climático se
encuentran el aumento de la temperatura y cambios en los patrones de caída de
lluvia que traen períodos de sequía más largos. Esto crea limitaciones en la
administración de los embalses de las plantas hidroeléctricas, restringiendo en
algunos casos la cantidad de energía eléctrica generada. El objetivo de esta
investigación consiste en resolver el problema de optimización multiobjetivo
que busca minimizar la producción de energía eléctrica de plantas
hidroeléctricas con bajo caudal de entrada y, a la vez, minimizar el
racionamiento eléctrico debido a esa baja producción. Al ser objetivos
contrapuestos entre sí, se hizo necesario aplicar las metodologías de
resolución de problemas de optimización multiobjetivo entre las que se
encuentran los algoritmos genéticos. El modelo matemático se construyó
considerando las condiciones operativas de los embalses de las plantas
hidroeléctricas bajo estudio, tomando en cuenta sus cotas de operación mínima,
las cuales son incluidas en las restricciones del modelo. Se utilizó el
algoritmo genético de clasificación no dominado II para obtener el frente de
Pareto, el cual resultó compuesto por un total de 78 soluciones no dominadas,
las que fueron útiles para administrar los embalses considerados, a la hora de
máxima demanda. En definitiva, se recomienda utilizar otros algoritmos de
optimización multiobjetivo para efectos de comparación, seleccionando los
indicadores idóneos para evaluar el desempeño de cada algoritmo empleado,
además de incorporar restricciones de costos monetarios y ambientales al
modelo.

Sumario: Introducción,
Materiales y Métodos, Resultados y Discusión y Conclusiones.

Como
citar: Yajure-Ramírez, C. (2024). Resolución del problema
de optimización bi-objetivo para el despacho de
plantas hidroeléctricas en condiciones de bajo caudal de entrada
utilizando el algoritmo NSGA II. Revista Tecnológica - Espol, 36(1), 32-43.
https://rte.espol.edu.ec/index.php/tecnologica/article/view/1146

Palabras clave: Cambio climático, frente de Pareto, generación
eléctrica, NSGA, racionamiento eléctrico.

Abstract

Among the consequences of climate
change are increased temperatures and changes in rainfall patterns that bring
longer periods of drought. This creates limitations in the administration of
hydroelectric plant reservoirs, restricting, in some cases, the amount of
electrical energy generated. The objective of this research is to solve the
multi-objective optimization problem that seeks to minimize the production of
electrical energy from hydroelectric plants with low inflow and, at the same
time, minimize electrical rationing due to this low production. As these
objectives conflict with each other, it is necessary to apply multi-objective
optimization problem-solving methodologies, among which are genetic algorithms.
The mathematical model is built considering the operating conditions of the
reservoirs of the hydroelectric plants under study, including their minimum
operating levels, which are included in the model restrictions. The
non-dominated genetic classification algorithm II is used to obtain the Pareto
front, which is composed of a total of 78 non-dominated solutions that are
useful to manage the considered reservoirs at the time of maximum demand. It is
recommended to use other multi-objective optimization algorithms for comparison
purposes, selecting the ideal indicators to evaluate the performance of each
algorithm used, in addition to incorporating monetary and environmental cost
restrictions into the model.

Keywords: Climate change, Pareto front, electricity
generation, NSGA, electricity rationing.

Introducción

Las plantas
de energía hidroeléctrica se basan en la conversión de la energía potencial
asociada a la diferencia de nivel del agua almacenada en los embalses
construidos para tal fin. La energía hidroeléctrica “se genera gracias al flujo
de agua y utilizando tecnología mecánica tal como las turbinas para hacer la
conversión de la energía” (Ahmad et al., 2019).
Esta energía asociada al agua almacenada o en movimiento forma parte de
las conocidas energías renovables. Para el año 2022, el 30% del total de
generación eléctrica a nivel mundial fue suministrada por las fuentes
renovables, siendo un poco más de la mitad de la generación de electricidad del
tipo hidroeléctrica (REN21, 2023).
Asimismo, en Latinoamérica el 45% del total de generación de electricidad
proviene de plantas hidroeléctricas (Agencia Internacional de Energía, 2021).

Ahora bien,
el cambio climático puede generar cambios en la temperatura ambiental y en los
patrones de caída de las lluvias, afectando la disponibilidad de agua para las
plantas hidroeléctricas (Okoye et al., 2023).
Asimismo, algunos fenómenos climáticos podrían generar períodos de sequía en
algunas partes del planeta que impactarían negativamente, entre otras cosas,
los niveles de los embalses asociados a las plantas hidroeléctricas. En países
con una matriz energética tal que más del 50% está compuesta de energía
hidroeléctrica, el impacto de estos fenómenos climáticos podría ocasionar un
aumento en el racionamiento de la energía a buena parte de la población. Por
ejemplo, en presencia del fenómeno de “El Niño” se intensifica la sequía en
algunos países latinoamericanos. Según López (2024),
“El Niño” es el principal responsable de la sequía que experimenta Venezuela
desde julio del año 2023 y, de acuerdo con el Centro de Predicción Climática de
los Estados Unidos (National Oceanic and Atmospheric Administration, 2024), se espera que los
efectos de este fenómeno climático estén presentes hasta al menos el mes de
abril del año 2024.

Por lo
anterior, en presencia de condiciones de un atípico bajo caudal de entrada a
los embalses de las plantas hidroeléctricas, se hace necesario administrar su
uso para evitar llegar a los niveles mínimos de operación. Esto podría
disminuir la energía eléctrica generada y aumentar así el racionamiento
eléctrico, en caso de no existir otros tipos de plantas de generación que
compensen tal disminución. Esta situación acarrea un problema de optimización
de dos objetivos contrapuestos en el que se busca disminuir la energía
eléctrica generada por las plantas para no alcanzar a los niveles mínimos de
operación de los embalses, pero también reducir el racionamiento eléctrico para
así minimizar el impacto en la población. Para resolver este tipo de problemas,
se puede aplicar alguna de las técnicas de optimización multiobjetivo
disponibles. En ese sentido, la finalidad de esta investigación es aplicar
algoritmos evolutivos multiobjetivo para establecer el despacho de plantas
hidroeléctricas que tienen condiciones de bajo caudal de entrada a los
embalses. Para ello, se utiliza el algoritmo genético de clasificación de
soluciones no dominadas de segunda generación (NSGA II), buscando minimizar
simultáneamente la generación eléctrica de dos plantas hidroeléctricas y el
racionamiento eléctrico de la región que es abastecida por dichas plantas.

Se hizo una
revisión bibliográfica de las investigaciones relacionadas con este tema, y no
se encontró alguna en la que se busque reducir simultáneamente la generación de
las plantas hidroeléctricas y el racionamiento eléctrico. Por ejemplo, Huang et
al. (2023) utilizan el algoritmo NSGA II para optimizar dos funciones objetivo,
la generación de una planta hidroeléctrica ubicada en China, la cual sirve para
regular el pico de demanda, y la disponibilidad de navegación del canal
marítimo que se alimenta del caudal proveniente de la planta. Entre las
restricciones consideradas se encuentran las cotas seguras para el embalse, el
caudal de salida de la planta, y los límites de la potencia eléctrica de la
planta. Los resultados obtenidos permiten programar tanto la operación de la
planta como el uso del canal de navegación.

Asimismo,
Jena et al. (2022) hacen uso del algoritmo NSGA II para resolver un problema de
optimización de dos objetivos que le permita programar la operación de plantas
hidráulicas, plantas térmicas, plantas solares fotovoltaicas, y plantas eólicas,
minimizando los costos de operación y las emisiones contaminantes del sistema.
Los resultados numéricos son comparados con los del algoritmo SPEA 2,
obteniendo que el uso del NSGA II genera mayor disminución del costo y de las
emisiones.

Por otra
parte, Hojjati et al. (2018) aplican y comparan los
algoritmos NSGA II y MOPSO (multi-objective
particle swarm optimization) para mejorar la operación de embalses de
agua, maximizando los ingresos provenientes de la generación de potencia y el
volumen almacenado de agua. Se consideran restricciones asociadas al balance de
agua en el embalse, a los límites de liberación del caudal de agua, y al caudal
mínimo “aguas abajo” para protección del medio ambiente. Los investigadores concluyen
que el algoritmo NSGA II tiene un mejor desempeño con mejoras del 22% y el 3%
en los ingresos y el volumen, respectivamente, al compararlo con los resultados
del MOPSO.

Además, Sun et al. (2018) utilizan el algoritmo evolutivo
multiobjetivo basado en descomposición con ajuste de vector de peso adaptativo
(MOEA/D-AWA) para optimizar la operación de embalses de agua. Como funciones
objetivo tienen la maximización de la potencia generada por la planta
hidroeléctrica, y la maximización del desvío de caudal de agua de la salida del
embalse. Consideran restricciones de balance de agua en el reservorio,
generación de potencia eléctrica, y el caudal de diseño de la estación de
bombeo. El estudio determina que el modelo propuesto es efectivo para resolver
el problema de optimización de operación de embalses de agua.

Por otro
lado, Zhou et al. (2003) hacen uso del algoritmo de optimización de
clasificación de soluciones no dominadas (NSBWO) para mejorar la operación de
plantas hidroeléctricas considerando los tiempos de llegada de las naves al
embalse. Las restricciones incluyen los límites de las cotas de los embalses,
del flujo de descarga de la planta, de la potencia de las unidades, tasa de
variación de los niveles de agua, entre otras. Como resultado obtuvieron un
plan de operación diario óptimo para la planta hidroeléctrica.

De igual
forma, Wei et al. (2022) plantean un modelo de optimización multiobjetivo para
aumentar la generación de energía que produce una planta hidroeléctrica y a la
vez maximizar el desvío de agua del embalse del sistema. Aplican el algoritmo
NSGA II-SEABODE, el que combina la optimización multiobjetivo y la toma de
decisiones multiatributo. Las restricciones
consideradas incluyen balance de agua, límites de cotas del embalse, límites en
la potencia de salida, límites en el flujo de bombeo y límites en el caudal
ecológico. Los resultados muestran que la metodología puede promover la
utilización eficiente de los recursos hídricos.

Adicionalmente, Li & Qiu (2015) plantean el uso de un modelo de optimización
multiobjetivo basado en el algoritmo NSGA II para maximizar la generación anual
de energía eléctrica mientras se maximiza la potencia firme de la planta
hidroeléctrica. Las restricciones consideradas en el modelo están relacionadas
con los límites de las cotas del embalse, los límites de la descarga de agua
del embalse, balance de agua, entre otras. Concluyen que la metodología
propuesta, además de ser efectiva, muestra una relación cuantitativa entre la
generación de energía y la potencia firme.

Finalmente,
Marcelino et al. (2021) proponen un
modelo de optimización multiobjetivo para maximizar la potencia generada de una
planta hidroeléctrica y simultáneamente maximizar el volumen total de agua en
un conjunto de embalses. Utilizan el algoritmo evolutivo multiobjetivo de
hibridación de enjambres (MESH), y comparan sus resultados con los de los
algoritmos NSGA II, NSGA III, SPEA II, y MOEA/D. Sus hallazgos indican que el
MESH presenta un mejor desempeño, en comparación con el resto de los
algoritmos, en términos de eficiencia y exactitud.

El resto
del artículo se distribuye de la siguiente manera. En la sección 2 se presenta
la metodología utilizada, luego en la sección 3 se discuten los resultados
obtenidos; seguidamente, se presentan las conclusiones que se derivan de la
investigación y, finalmente, se tienen las referencias bibliográficas
utilizadas.

Materiales y Métodos

En primer lugar, se definieron las
funciones objetivo que deben ser optimizadas, tomando en cuenta las condiciones
de los embalses, debidas al aumento de la demanda eléctrica, y al fenómeno “El
Niño” que genera sequía y, por consiguiente, bajo caudal de entrada. La primera
función  objetivo consistió en minimizar
la producción de energía eléctrica en las plantas de generación hidroeléctrica
bajo estudio, correspondientes a los embalses 1 y 2, para así disminuir el
consumo del agua almacenada, puesto que se espera poco caudal de entrada en el
corto y mediano plazo, y la segunda función fue minimizar el racionamiento
eléctrico en dicha región. Es evidente que estos dos objetivos son
contrapuestos ya que minimizar la producción de la energía eléctrica generada
por las plantas hidroeléctricas implica un posible aumento en el racionamiento
eléctrico si no se dispone de otras fuentes de generación que compensen tal
disminución. El racionamiento eléctrico vendrá dado como la diferencia entre la
demanda máxima en la región bajo estudio y los distintos aportes de energía
eléctrica hacia dicha región. Estos aportes son la generación en las plantas de
los embalses bajo estudio, la generación en el resto de las plantas
hidroeléctricas y térmicas de la región, y el límite máximo de transferencia a
través del sistema de transmisión.

Seguidamente, se definieron las variables
de decisión que se relacionan con las funciones objetivo, las que fueron
generación eléctrica en la planta del embalse 1, generación eléctrica en la
planta del embalse 2, generación eléctrica en el resto de la región, y límite
de transferencia de energía eléctrica hacia la región de estudio a través del
sistema de transmisión. Posteriormente, se consiguieron los límites de las
variables de decisión, así como las restricciones que involucran a dichas
variables. Los límites de operación para las cotas de los embalses se
introdujeron en las restricciones, cuyas ecuaciones se encontraron utilizando
regresión lineal múltiple.

Una vez que se obtuvo el modelo matemático
del problema de optimización multiobjetivo, se aplicó la técnica adecuada para
resolver este problema. En esta investigación se empleó el algoritmo evolutivo
de optimización multiobjetivo NSGA II para conseguir un conjunto de decisiones
no dominadas que definen el frente de Pareto, utilizando el lenguaje de
programación Python.

Optimización multiobjetivo

Un problema
de optimización multiobjetivo es aquel que tiene un conjunto de funciones
objetivo por optimizar, ajustando adecuadamente los valores de las variables de
decisión, las que están sometidas a un conjunto de restricciones que se deben
satisfacer simultáneamente. Coello et al. (2007, p. 5) indican
que “estas funciones objetivo forman la descripción matemática del criterio de
desempeño, las cuales están usualmente en conflicto una con otra”. Dada la
característica conflictiva entre las funciones a optimizar, no hay una solución
única que pueda mejorarlas de manera simultánea, por lo que la solución del
problema consiste en encontrar los valores de las funciones objetivo que sean
aceptables para el que toma la decisión. Adicionalmente, Hussain & Kim (2021, p. 3) hablan de la
optimización multiobjetivo como el proceso de optimizar simultáneamente un
conjunto de funciones objetivo, y plantean que “en la mayoría de los casos las
funciones objetivo son de naturaleza conflictiva y optimizar una de ellas implica
el deterioro de la otra, y viceversa. Por consiguiente, la meta es encontrar un
equilibrio entre estos objetivos en conflicto”.

Las
restricciones del problema son impuestas por el medio ambiente o por
limitaciones de los recursos disponibles, por lo que deben cumplirse para que
una solución determinada sea considerada aceptable o factible. Por otra parte,
describen dependencias entre las variables de decisión y constantes o
parámetros involucrados en el problema particular.

Tal como plantean Al Shidhani et al, (2020),
si se establece el vector de variables de decisión:

, tales que satisfacen
J restricciones de desigualdad, K restricciones de igualdad y están limitadas
entre un límite superior y un límite inferior, y optimiza el vector de
funciones objetivo, el modelo matemático genérico es:

(1)

Sujeto
a:

(2)

(3)

(4)

Frente óptimo de Pareto

Para cada
problema de optimización multiobjetivo se podría encontrar varias soluciones de
equilibrio o compromiso, las que son conocidas como soluciones óptimas de
Pareto. Karami & Dariane (2022)
indican que el frente de Pareto es la gráfica de las funciones objetivo
considerando soluciones no dominadas, es decir, soluciones que son superiores
al resto de los componentes del espacio de decisión. Una solución, como el
vector de decisión, es óptima si no es dominada por ninguna otra solución en el
espacio de decisión. Cuando una solución no es dominada, no es peor en ninguno
de los objetivos, y es mejor en al menos uno de los objetivos. A la solución no
dominada se le llama óptimo de Pareto, y al conjunto de tales soluciones
compromiso óptimas se le conoce como el conjunto óptimo de Pareto, mientras que su imagen en el
espacio de objetivos se le conoce como frente
de Pareto.

En la Figura 1 se presentan tanto el espacio de decisión como
el espacio de objetivos para el caso de un problema de optimización para el que
se requiere minimizar dos funciones objetivo, y se tienen dos variables de
decisión. Para efectos de ilustración, en el espacio de decisión se representan
sólo tres puntos, los que se mapean hacia el espacio de objetivos. En este
caso, el punto

representa a
una solución dominada, y los puntos

y

forman parte
del conjunto óptimo de Pareto, y sus imágenes en el espacio de objetivos caen
dentro del frente de Pareto.

Figura 1

Espacios de decisión y de objetivos

Por otra parte, en la Figura 2 se puede observar la gráfica de un frente de
Pareto genérico en el que hay tres puntos característicos: el punto de utopía
en el que las dos funciones alcanzan sus óptimos individuales, pero que
realmente no forma parte del frente, y los dos puntos de anclaje, en los que
cada función alcanza su óptimo y que sí forman parte del frente de Pareto.
Estos tres puntos son definidos en Yeung &
Zhang (2023), quienes además incorporan el punto nadir, el cual
representa simultáneamente los peores valores de las funciones objetivo.

En la actualidad, para encontrar el frente de Pareto existe una variedad de
técnicas. En la investigación de Emmerich &
Deutz (2018) clasifican estas técnicas en tres categorías: técnicas de escalarización, algoritmos numéricos, y algoritmos
evolutivos. El primer grupo consiste en agrupar las funciones objetivo en una
sola (o reformular todas menos una como restricciones), y se resuelve el
problema restringido a un solo objetivo. El segundo grupo reside en combinar
los métodos de escalarización con los métodos
numéricos matemáticos para solucionar un problema de optimización de un solo
objetivo. Finalmente, el tercer grupo radica en utilizar algoritmos evolutivos,
tales como los algoritmos genéticos, para resolver el problema de optimización
multiobjetivo. Este tercer grupo es el que se utiliza en esta investigación,
puesto que, como indican Zitzler et al. (2004), la generación del frente de Pareto
podría ser muy costosa computacionalmente hablando, e incluso podría no ser
factible su obtención, dependiendo de la complejidad de la aplicación. Por esta
razón, se ha hecho uso de los algoritmos evolutivos para obtener la
aproximación de dicho frente.

Figura 2

Frente de Pareto genérico

Optimización
multiobjetivo evolutiva

Los algoritmos evolutivos multiobjetivo (MOEA) son un tipo de métodos de
optimización estocásticos que simulan el proceso de selección natural. A partir
de la década de los setenta del siglo XX, se han propuesto una variedad de
metodologías evolutivas, y de acuerdo con Zitzler et
al. (2004) estas metodologías trabajan sobre un conjunto de soluciones
candidatas, el cual es modificado a través de dos principios básicos: selección
y variación. La selección imita la competencia por la reproducción y los
recursos entre los seres vivos, y la variación imita la capacidad natural de
crear “nuevas” formas de vida mediante la recombinación y la mutación.

Los autores mencionados establecen que un algoritmo evolutivo se
caracteriza por poseer tres elementos principales: un conjunto de soluciones
candidatas, un proceso de selección (mating)
aplicado al conjunto de soluciones candidatas, y un proceso de recombinación
para generar nuevas soluciones. Haciendo analogía con la evolución natural, a
las soluciones candidatas se les llama individuos, y al conjunto de soluciones
candidatas se les llama población. El proceso de selección, por lo general,
consta de dos etapas: adaptabilidad (fitness) y muestreo (sampling).

En la primera etapa, los individuos en la población actual se evalúan en el
espacio de objetivos y entonces se le asigna un valor escalar llamado
adaptabilidad, el cual refleja su calidad. Posteriormente, se realiza la etapa
de muestreo en la que se seleccionan individuos de la población de acuerdo con
sus valores de adaptabilidad, y se colocan en una “piscina de apareamiento” (mating pool). Un método de muestreo
comúnmente utilizado consiste en elegir aleatoriamente dos individuos de la
población, y aquel que tenga mejor valor de adaptabilidad se copia en la
piscina. Este procedimiento se repite hasta que la piscina esté llena.

Seguidamente se aplican los operadores de variación a los individuos
ubicados en la piscina; generalmente, son los operadores de mutación y de
recombinación. El operador de recombinación toma un cierto número de individuos
(padres) y crea un número predefinido de hijos, al combinar partes de los
padres. Asociado a este operador se tiene una probabilidad de cruce. Por otra
parte, el operador de mutación modifica a los individuos al cambiar pequeñas
partes de ellos en el vector asociado, y de acuerdo con una tasa de mutación
dada. Se podría dar el caso que algunos individuos sean solo una copia de la
solución previamente generada debido al efecto aleatorio del proceso.

Por último, se tiene el proceso de selección ambiental, en el que se
determina cuales individuos de la población y de la piscina modificada formarán
la nueva población. Un criterio es utilizar la piscina modificada como nueva
población; otro enfoque consiste en combinar ambos conjuntos y luego escoger
los mejores individuos, aunque estos no son los únicos dos enfoques utilizados
normalmente.

Coello et al. (2007) clasifican los algoritmos MOEA en tres tipos:
funciones de agrupamiento, enfoques basados en población, y enfoques basados en
Pareto. El enfoque basado en Pareto consiste en un esquema de selección
asentado en el concepto de optimalidad de Pareto. Utiliza el concepto de fitness
para mantener la diversidad, y evitar la convergencia del algoritmo genético a
una solución simple. Según Coello et al. (2007) este enfoque se puede dividir
en dos generaciones: una primera generación caracterizada por el uso de la
capacidad de adaptación combinada con un ranking de Pareto; y una segunda
generación que surge con la introducción del concepto de elitismo. El elitismo,
usualmente, se refiere al uso de una población externa para retener las
soluciones no dominadas. Esta población también es llamada población
secundaria. Algunos de los MOEA’S más representativos de esta segunda
generación son: algoritmo evolutivo de Pareto de fuerza (SPEA), algoritmo
evolutivo de Pareto de fuerza 2 (SPEA2), algoritmo genético
de clasificación no dominado II (NSGA II), algoritmo genético de Pareto con
nicho 2 (NPGA II).

El algoritmo NSGA consiste en hacer una jerarquización de la población
sobre la base de la no dominación, antes de hacer la selección. Todos los
individuos no dominados se clasifican en una categoría con un valor de
adaptabilidad proporcional al tamaño de la población, para así suministrar un
potencial reproductivo idéntico para estas soluciones. Para mantener la
diversidad de la población, se efectúa una repartición de adaptabilidad entre
estos individuos clasificados, utilizando los valores arbitrarios de
adaptabilidad previamente definidos. Luego, este grupo de soluciones
clasificadas se ignora, y se considera otra capa de individuos no dominados.
Este proceso se repite hasta que todos los individuos en la población estén
clasificados. NSGA II es una versión revisada del algoritmo NSGA de primera
generación. Es computacionalmente más eficiente, utiliza elitismo, y un
operador de comparación de llenado para mantener la diversidad sin especificar
ningún parámetro adicional. No utiliza memoria externa, su mecanismo de
elitismo consiste en la combinación de los mejores parientes con los mejores
descendientes obtenidos.

Regresión Lineal Múltiple

Este es un algoritmo de aprendizaje automático supervisado, y utiliza una
serie de variables explicativas o regresoras que
definen el comportamiento de una variable objetivo. Se dice que el modelo es
lineal en los parámetros (coeficientes) y no necesariamente en las
variables.  Sí se tienen k variables
explicativas, según lo planteado por Gujarati & Porter (2010), la expresión de la
variable objetivo se presenta a continuación:

(5)

En la ecuación (5) se
cumple que Yi es la variable objetivo, X1i … Xki son las variables explicativas o regresoras, 𝜖i es el término de perturbación estocástica, e i
la i-ésima observación del conjunto de datos.
Asimismo, 𝛽0 es el valor promedio de la variable objetivo
cuando todas las predictoras valen cero, y 𝛽1…𝛽k son los coeficientes de regresión.

De acuerdo con Gujarati & Porter (2010), en términos generales, existen tres métodos de
estimación de los coeficientes de regresión, también llamados parámetros: mínimos
cuadrados ordinarios, máxima verosimilitud, método de los momentos, y su
extensión, el método de los momentos generalizado. Usualmente se utiliza el
primero de ellos, es decir, el método de los mínimos cuadrados ordinarios.

Adicionalmente,
plantean que el modelo de regresión lineal se basa en ciertos supuestos; por
ejemplo: no hay colinealidad exacta o cuasi exacta entre las variables
explicativas, el término de perturbación estocástica esta normalmente
distribuido, el número de observaciones debe ser mayor al número de parámetros
a estimar, el modelo de regresión es lineal en los parámetros, el valor medio
de la perturbación estocástica es nulo, entre otros.

Resultados y Discusión

A continuación, se presentan y discuten los
resultados obtenidos, los que incluyen el desarrollo del modelo del problema de
optimización multiobjetivo, y el frente de Pareto conseguido luego de aplicar
el algoritmo NSGA II utilizando el lenguaje de programación Python.

Modelo
del problema multiobjetivo

La función

corresponde a
la minimización de la generación de las plantas hidroeléctricas asociadas a los
embalses 1 y 2 (ver ecuación 6), es decir, se minimiza la sumatoria de la
generación de los dos embalses. Por otra parte, la función

corresponde a
la minimización del racionamiento eléctrico en la región donde se ubican los
embalses (ver ecuación 7). Se considera la demanda máxima histórica, la que
corresponde a la hora 20 del día.

En cuanto a la operación de los generadores de
los embalses 1 y 2, se tomaron los límites operativos históricos durante el
período 2021-2023. Para la planta del embalse 1 una generación entre 0 MW y 185
MW, para la planta del embalse 2 una generación entre 0 y 201 MW. Para el resto
de las plantas de generación hidrotérmicas de la zona, se espera una generación
global entre los 300 MW y los 700 MW. Para el límite de transferencia hacia la
zona, los valores se fijan entre los 200 MW y los 400 MW.

Para las cotas de los embalses, el límite de
operación mínima de cada uno de ellos se considera como una restricción. Para
ello, se genera una relación lineal entre la cota respectiva como variable
objetivo y las variables de decisión como las variables explicativas, a través
de un modelo de regresión lineal múltiple, obteniéndose dos ecuaciones de
restricción asociadas a las cotas de los embalses, ver ecuación 12 para embalse
1 y ver ecuación 13 para el embalse 2. El modelo de regresión para la cota del
embalse 1 tuvo un R2 de 59%, y un error porcentual absoluto medio
(MAPE) de 1,1% en los datos de prueba. En cuanto al modelo de regresión para la
cota del embalse 2 tuvo un R2 de 53%, y un MAPE de 0,43% en los
datos de prueba.

Finalmente, el modelo quedaría de la siguiente manera:

(6)

(7)

Sujeto a:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Donde:

: Potencia generada de la planta 1, en MW.

: Potencia generada de la planta 2, en MW.

: Potencia promedio horaria generada del resto de las plantas, en MW.

: Límite de transferencia a través del sistema de transmisión, en MW.

Frente
de Pareto

Previo a la corrida del algoritmo NSGA II, se procedió
a hacer su parametrización, quedando un tamaño de la población igual a 100, un
total de 1000 generaciones, una probabilidad de cruce igual a 0,9, una
probabilidad de mutación igual al inverso del número de variables de decisión,
el operador de cruce del tipo “binario simulado”, un operador de mutación
polinómico, y la inicialización del tipo “hipercubo latino”.

Luego de aplicar el algoritmo, se obtuvo el frente de
Pareto que se presenta en la Figura 3.
Se puede ver que el punto de utopía corresponde a la solución trivial cuando
hay generación nula en las plantas de los embalses 1 y 2, y toda la demanda es
satisfecha con la generación del resto de las plantas, más lo que se transfiere
a través del sistema de transmisión.

Figura 3

Frente
de Pareto

De la Figura 3
también se puede observar que el punto de anclaje superior corresponde a una
generación nula en los embalses 1 y 2 y un racionamiento de 300 MW, así como
una generación del resto de las plantas de 700 MW y un límite de transferencia
de 400 MW. El punto de anclaje inferior comprende una generación de 298,12 MW
en las plantas de los embalses y un racionamiento de 2,01 MW. La generación de
la planta del embalse 1 sería de 118,51 MW, la del embalse 2 de 179,6 MW, la
del resto de las plantas 700 MW, y el límite de transferencia en 400 MW.

Entre los dos puntos de anclajes hay adicionalmente 76
puntos no dominados que completan el frente de Pareto. Este es un número
considerable de soluciones no dominadas, lo que da flexibilidad para la
administración de los embalses. Por ejemplo, en Jena
et al. (2022) se obtienen sólo 20 soluciones no dominadas al utilizar el
algoritmo NSGA II, al igual que en la investigación de (Hojjati et al. (2018) cuando utilizan el mismo algoritmo de
optimización.

Para
la aplicación del algoritmo NSGA II al problema de optimización, se utilizó el framework de computación evolutiva Platypus con el lenguaje Python, y el tiempo de obtención
del frente de Pareto fue de aproximadamente 4,55 segundos.

Conclusiones

Se
desarrolló un modelo de optimización multiobjetivo para minimizar la producción
de energía eléctrica de las plantas hidroeléctricas asociadas a dos embalses, y
simultáneamente minimizar el racionamiento eléctrico en la región que es
alimentada en parte por las plantas de los embalses mencionados. El modelo
considera el cumplimiento de las cotas mínimas y máximas de operación de los
embalses como restricciones del modelo, cuyas expresiones matemáticas se
encontraron utilizando el algoritmo de aprendizaje automático regresión lineal
múltiple.

Luego de
aplicar el algoritmo NSGA II, se encontró el frente de Pareto del problema de
optimización multiobjetivo. Este frente cuenta con un total de setenta y ocho
puntos de soluciones no dominadas, incluyendo los dos puntos de anclaje. Estas
soluciones se pueden considerar para la operación de las plantas asociadas a
los embalses bajo estudio, para las horas del día en las que se espera un mayor
valor de la demanda eléctrica. El tiempo que toma obtener el frente de Pareto
utilizando el lenguaje Python y el framework Platypus fue de sólo 4,55 segundos.

Se
recomienda comparar los resultados obtenidos utilizando otros algoritmos de
optimización multiobjetivo, y seleccionando los indicadores idóneos para
evaluar el desempeño de cada algoritmo utilizado. Asimismo, incorporar
restricciones de costos monetarios y ambientales asociados a las plantas
térmicas del resto de la generación eléctrica de la región. Finalmente, se
aconseja incorporar una técnica de toma de decisiones multicriterio para la
selección del mejor punto del frente de Pareto obtenido.

Referencias

Agencia
Internacional de Energía. (2021). Climate Impacts on Latin
American Hydropower. France: IEA.

Ahmad,
M., Beddu, S., Itam, Z., & Ismail Alanimi, F. (2019). State of the Art
Compendium of Macro and Micro Energies. Advances in Science and Technology
Research Journal, 88-109. https://doi.org/10.12913/22998624/103425.

Al
Shidhani, T., Ioannou, A., & Falcone, G. (2020). Multi-Objective
Optimisation for Power System Planning Integrating Sustainability Indicators. MDPI
Energies, https://doi.org/10.3390/en13092199.

Coello
Coello, C., Lamont, G., & Van Veldhuizen, D. (2007). Evolutionary
Algorithms for Solving Multi-Objective Problems. New York,
USA: Springer.

Emmerich,
M., & Deutz, A. (2018). A tutorial on multiobjective optimization:
fundamentals and evolutionary methods. Natural Computing, 585-609.
https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y.

Gujarati,
D., & Porter, D. (2010). Econometría.
México, D. F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V.

Hojjati,
A., Monadi, M., Faridhosseini, A., & Mohammadi, M. (2018). Application
and comparison of NSGA-II and MOPSO in multi-objective optimization of water
resources systems. Journal of Hydrology and Hydromechanics, 323-329. https://doi.org/10.2478/johh-2018-0006.

Huang,
G., Tan, M., Meng, Z., Yan, J., Chen, J., & Qu, Q. (2023). Hydropower
Scheduling with Power Load Prediction: Optimizing Energy Efficiency and
Navigation Performance. Research Square,
https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-2959078/v1.

Hussain,
A., & Kim, H.-M. (2021). Evaluation of Multi-Objective Optimization
Techniques for Resilience Enhancement of Electric Vehicles. MDPI
Electronics, https://doi.org/10.3390/electronics10233030.

Jena,
C., Guerrero, J., Abusorrah, A., & Al-Turk, Y. (2022). Multi-Objective
Generation Scheduling of Hydro-Thermal System Incorporating Energy Storage With
Demand Side Management Considering Renewable Energy Uncertainties. IEEE
Access, 52343-52357. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2022.3172500.

Karami,
F., & Dariane, A. (2022). A review and evaluation of multi and
many-objective optimization: Methods and algorithms. Global Journey of
Ecology, 104-119. https://dx.doi.org/10.17352/gje.000070.

Li,
F.-F., & Qiu, J. (2015). Multi-Objective Reservoir Optimization Balancing
Energy Generation and Firm Power. Energies,
6963-6976. https://doi.org/10.3390/en8076962.

López,
M. (11 de Febrero de 2024). ¿Qué pasa con los fenómenos de El Niño y La Niña y
cómo esto afecta a Venezuela? Efecto Cocuyo, págs. Recuperado de:
https://efectococuyo.com/cambio-climatico/que-pasa-con-los-fenomenos-de-el-nino-y-la-nina-venezuela/.

Marcelino,
C., Leite, G., Delgado, C., de Oliveira, L., Wanner, E., Jiménez-Fernández, S.,
& Salcedo-Sanz, S. (2021). An efficient multi-objective
evolutionary approach for solving the operation of multi-reservoir system
scheduling in hydro-power plants. Expert Systems With Applications,
https://doi.org/10.1016/j.eswa.2021.115638.

National
Oceanic and Atmospheric Administration. (8 de Febrero
de 2024). EL NIÑO/SOUTHERN OSCILLATION (ENSO) DIAGNOSTIC DISCUSSION. Climate
Prediction Center, pág. Recuperado de:
https://www.cpc.ncep.noaa.gov/products/analysis_monitoring/enso_advisory/ensodisc.shtml.

Okoye,
G., Kassem, Y., & Gökçekuş, H. (2023). Assessing the impacts of climate
change on hydropower generation and the power sector in Nigeria. China
Petroleum Processing and Petrochemical Technology, 1-15.

REN21.
(2023). Global Status Report - Renewables 2023. París: REN21
Secretariat.

Sun,
X., Luo, J., & Xie, J. (2018). Multi-Objective Optimization
for Reservoir Operation Considering Water Diversion and Power Generation
Objectives. MDPI Water, https://doi.org/10.3390/w10111540.

Wei,
N., Yang, F., Lu, K., Xi, J., & Zhang, S. (2022). A Method of
Multi-Objective Optimization and Multi-Attribute Decision-Making for
Huangjinxia Reservoir. MDPI Applied Sciences,
https://doi.org/10.3390/app12136300.

Yeung,
D., & Zhang, Y. (2023). Bi-Objective Optimization: A Pareto Method with
Analytical Solutions. Applied Mathematics, 57-81.
https://doi.org/10.4236/am.2023.141004.

Zhou,
E., Liu, X., Meng, Z., Yu, S., Mei, J., & Qu, Q. (2023). Optimizing
Hydropower Station Scheduling: A Multi-Objective Real-Time Approach. Scientific
Reports, https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-3009681/v1.

Zitzler,
E., Laumanns, M., & Bleuler, S. (2004). A Tutorial on Evolutionary
Multiobjective Optimization. En X. Gandibleux , M. Sevaux, K. Sörensen, &
V. T’kindt, Metaheuristics for Multiobjective Optimisation (págs. 3-37).
Berlin: Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-17144-4_1.