https://doi.org/10.37815/rte.v36n1.1146
ArtÃculos originales
Resolución del problema de optimización bi-objetivo
para el despacho de plantas hidroeléctricas en condiciones de bajo caudal =
de
entrada utilizando el algoritmo NSGA II
Resolution of the bi-objective optimization problem for the dispatch=
of
hydroelectric plants under conditions of low inflow using the NSGA II algor=
ithm
César
A. Yajure-RamÃrez<=
sup>1
1Uni=
versidad
Enviado:Â Â Â Â Â Â Â Â 2024/03/06<=
span
style=3D'font-size:10.0pt;font-family:"Segoe UI",sans-serif;mso-ansi-langua=
ge:
ES-MX'>
Aceptado:Â Â Â Â Â Â 2024/06/02
Publicado:
    2024/06/30
Resumen
Entre las consecuencias del cambio climático se
encuentran el aumento de la temperatura y cambios en los patrones de caÃda=
de
lluvia que traen perÃodos de sequÃa más largos. Esto crea limitaciones e=
n la
administración de los embalses de las plantas hidroeléctricas, restringie=
ndo en
algunos casos la cantidad de energÃa eléctrica generada. El objetivo de e=
sta
investigación consiste en resolver el problema de optimización multiobjet=
ivo
que busca minimizar la producción de energÃa eléctrica de plantas
hidroeléctricas con bajo caudal de entrada y, a la vez, minimizar el
racionamiento eléctrico debido a esa baja producción. Al ser objetivos
contrapuestos entre sÃ, se hizo necesario aplicar las metodologÃas de
resolución de problemas de optimización multiobjetivo entre las que se
encuentran los algoritmos genéticos. El modelo matemático se construyó
considerando las condiciones operativas de los embalses de las plantas
hidroeléctricas bajo estudio, tomando en cuenta sus cotas de operación mÃ=
nima,
las cuales son incluidas en las restricciones del modelo. Se utilizó el
algoritmo genético de clasificación no dominado II para obtener el frente=
de
Pareto, el cual resultó compuesto por un total de 78 soluciones no dominad=
as,
las que fueron útiles para administrar los embalses considerados, a la hor=
a de
máxima demanda. En definitiva, se recomienda utilizar otros algoritmos de
optimización multiobjetivo para efectos de comparación, seleccionando los
indicadores idóneos para evaluar el desempeño de cada algoritmo empleado,
además de incorporar restricciones de costos monetarios y ambientales al
modelo.
Sumario: Introducción,
Materiales y Métodos, Resultados y Discusión y Conclusiones. Como
citar: Yajure-RamÃrez, C. (2024). Resolución del pro=
blema
de optimización bi-objetivo para el despa=
cho de
plantas hidroeléctricas en condiciones de bajo caudal de entrada
utilizando el algoritmo NSGA II. Revista Tecnológica - Espol, 36(1=
), 32-43.
https://rte.espol.edu.ec/index.php/tecnologica/article/view/1146=
=
Palabras clav=
e: Cambio climático, frente de Pareto, generac=
ión
eléctrica, NSGA, racionamiento eléctrico.
Abstract
Among the consequences of clim=
ate
change are increased temperatures and changes in rainfall patterns that bri=
ng
longer periods of drought. This creates limitations in the administration of
hydroelectric plant reservoirs, restricting, in some cases, the amount of
electrical energy generated. The objective of this research is to solve the
multi-objective optimization problem that seeks to minimize the production =
of
electrical energy from hydroelectric plants with low inflow and, at the same
time, minimize electrical rationing due to this low production. As these
objectives conflict with each other, it is necessary to apply multi-objecti=
ve
optimization problem-solving methodologies, among which are genetic algorit=
hms.
The mathematical model is built considering the operating conditions of the
reservoirs of the hydroelectric plants under study, including their minimum
operating levels, which are included in the model restrictions. The
non-dominated genetic classification algorithm II is used to obtain the Par=
eto
front, which is composed of a total of 78 non-dominated solutions that are
useful to manage the considered reservoirs at the time of maximum demand. I=
t is
recommended to use other multi-objective optimization algorithms for compar=
ison
purposes, selecting the ideal indicators to evaluate the performance of each
algorithm used, in addition to incorporating monetary and environmental cost
restrictions into the model.
Introducción
L=
as plantas
de energÃa hidroeléctrica se basan en la conversión de la energÃa poten=
cial
asociada a la diferencia de nivel del agua almacenada en los embalses
construidos para tal fin. La energÃa hidroeléctrica “se genera gracias =
al flujo
de agua y utilizando tecnologÃa mecánica tal como las turbinas para hacer=
la
conversión de la energÃa†(Ahmad et al., 2019).Â
Esta energÃa asociada al agua almacenada o en movimiento forma part=
e de
las conocidas energÃas renovables. Para el año 2022, el 30% del total de
generación eléctrica a nivel mundial fue suministrada por las fuentes
renovables, siendo un poco más de la mitad de la generación de electricid=
ad del
tipo hidroeléctrica
<= o:p>
A=
hora bien,
el cambio climático puede generar cambios en la temperatura ambiental y en=
los
patrones de caÃda de las lluvias, afectando la disponibilidad de agua para=
las
plantas hidroeléctricas (Okoye et al., 20=
23).
Asimismo, algunos fenómenos climáticos podrÃan generar perÃodos de sequ=
Ãa en
algunas partes del planeta que impactarÃan negativamente, entre otras cosa=
s,
los niveles de los embalses asociados a las plantas hidroeléctricas. En pa=
Ãses
con una matriz energética tal que más del 50% está compuesta de energÃa
hidroeléctrica, el impacto de estos fenómenos climáticos podrÃa ocasion=
ar un
aumento en el racionamiento de la energÃa a buena parte de la población. =
Por
ejemplo, en presencia del fenómeno de “El Niño†se intensifica la seq=
uÃa en
algunos paÃses latinoamericanos. Según López (2024),
“El Niño†es el principal responsable de la sequÃa que experimenta Ve=
nezuela
desde julio del año 2023 y, de acuerdo con el Centro de Predicción Climá=
tica de
los Estados Unidos
P=
or lo
anterior, en presencia de condiciones de un atÃpico bajo caudal de entrada=
a
los embalses de las plantas hidroeléctricas, se hace necesario administrar=
su
uso para evitar llegar a los niveles mÃnimos de operación. Esto podrÃa
disminuir la energÃa eléctrica generada y aumentar asà el racionamiento
eléctrico, en caso de no existir otros tipos de plantas de generación que
compensen tal disminución. Esta situación acarrea un problema de optimiza=
ción
de dos objetivos contrapuestos en el que se busca disminuir la energÃa
eléctrica generada por las plantas para no alcanzar a los niveles mÃnimos=
de
operación de los embalses, pero también reducir el racionamiento eléctri=
co para
asà minimizar el impacto en la población. Para resolver este tipo de prob=
lemas,
se puede aplicar alguna de las técnicas de optimización multiobjetivo
disponibles. En ese sentido, la finalidad de esta investigación es aplicar
algoritmos evolutivos multiobjetivo para establecer el despacho de plantas
hidroeléctricas que tienen condiciones de bajo caudal de entrada a los
embalses. Para ello, se utiliza el algoritmo genético de clasificación de
soluciones no dominadas de segunda generación (NSGA II), buscando minimizar
simultáneamente la generación eléctrica de dos plantas hidroeléctricas =
y el
racionamiento eléctrico de la región que es abastecida por dichas plantas=
.
S=
e hizo una
revisión bibliográfica de las investigaciones relacionadas con este tema,=
y no
se encontró alguna en la que se busque reducir simultáneamente la generac=
ión de
las plantas hidroeléctricas y el racionamiento eléctrico. Por ejemplo, Hu=
ang et
al. (2023) utilizan el algoritmo NSGA II para optimizar dos funciones objet=
ivo,
la generación de una planta hidroeléctrica ubicada en China, la cual sirv=
e para
regular el pico de demanda, y la disponibilidad de navegación del canal
marÃtimo que se alimenta del caudal proveniente de la planta. Entre las
restricciones consideradas se encuentran las cotas seguras para el embalse,=
el
caudal de salida de la planta, y los lÃmites de la potencia eléctrica de =
la
planta. Los resultados obtenidos permiten programar tanto la operación de =
la
planta como el uso del canal de navegación.
<= o:p>
A=
simismo,
Jena et al. (2022) hacen uso del algoritmo NSGA II para resolver un problem=
a de
optimización de dos objetivos que le permita programar la operación de pl=
antas
hidráulicas, plantas térmicas, plantas solares fotovoltaicas, y plantas e=
ólicas,
minimizando los costos de operación y las emisiones contaminantes del sist=
ema.
Los resultados numéricos son comparados con los del algoritmo SPEA 2,
obteniendo que el uso del NSGA II genera mayor disminución del costo y de =
las
emisiones.
<= o:p>
P=
or otra
parte, Hojjati et al. (2018) aplican y comparan=
los
algoritmos NSGA II y MOPSO (multi-objective
particle swarm optimization) para mejorar la operación de embal=
ses de
agua, maximizando los ingresos provenientes de la generación de potencia y=
el
volumen almacenado de agua. Se consideran restricciones asociadas al balanc=
e de
agua en el embalse, a los lÃmites de liberación del caudal de agua, y al =
caudal
mÃnimo “aguas abajo†para protección del medio ambiente. Los investig=
adores concluyen
que el algoritmo NSGA II tiene un mejor desempeño con mejoras del 22% y el=
3%
en los ingresos y el volumen, respectivamente, al compararlo con los result=
ados
del MOPSO.
<= o:p>
A=
demás, Sun et al. (2018) utilizan el algoritmo evolutivo
multiobjetivo basado en descomposición con ajuste de vector de peso adapta=
tivo
(MOEA/D-AWA) para optimizar la operación de embalses de agua. Como funcion=
es
objetivo tienen la maximización de la potencia generada por la planta
hidroeléctrica, y la maximización del desvÃo de caudal de agua de la sal=
ida del
embalse. Consideran restricciones de balance de agua en el reservorio,
generación de potencia eléctrica, y el caudal de diseño de la estación =
de
bombeo. El estudio determina que el modelo propuesto es efectivo para resol=
ver
el problema de optimización de operación de embalses de agua.
P=
or otro
lado, Zhou et al. (2003) hacen uso del algoritmo de optimización de
clasificación de soluciones no dominadas (NSBWO) para mejorar la operació=
n de
plantas hidroeléctricas considerando los tiempos de llegada de las naves al
embalse. Las restricciones incluyen los lÃmites de las cotas de los embals=
es,
del flujo de descarga de la planta, de la potencia de las unidades, tasa de
variación de los niveles de agua, entre otras. Como resultado obtuvieron un
plan de operación diario óptimo para la planta hidroeléctrica.
<= o:p>
D=
e igual
forma, Wei et al. (2022) plantean un modelo de optimización multiobjetivo =
para
aumentar la generación de energÃa que produce una planta hidroeléctrica =
y a la
vez maximizar el desvÃo de agua del embalse del sistema. Aplican el algori=
tmo
NSGA II-SEABODE, el que combina la optimización multiobjetivo y la toma de
decisiones multiatributo. Las restricciones
consideradas incluyen balance de agua, lÃmites de cotas del embalse, lÃmi=
tes en
la potencia de salida, lÃmites en el flujo de bombeo y lÃmites en el caud=
al
ecológico. Los resultados muestran que la metodologÃa puede promover la
utilización eficiente de los recursos hÃdricos.
<= o:p>
Adicionalmente, Li & Qiu (2015) plantean el uso de un modelo de optimiza=
ción
multiobjetivo basado en el algoritmo NSGA II para maximizar la generación =
anual
de energÃa eléctrica mientras se maximiza la potencia firme de la planta
hidroeléctrica. Las restricciones consideradas en el modelo están relacio=
nadas
con los lÃmites de las cotas del embalse, los lÃmites de la descarga de a=
gua
del embalse, balance de agua, entre otras. Concluyen que la metodologÃa
propuesta, además de ser efectiva, muestra una relación cuantitativa entr=
e la
generación de energÃa y la potencia firme.
<= o:p>
F=
inalmente,
Marcelino et al. (2021) proponen un
modelo de optimización multiobjetivo para maximizar la potencia generada d=
e una
planta hidroeléctrica y simultáneamente maximizar el volumen total de agu=
a en
un conjunto de embalses. Utilizan el algoritmo evolutivo multiobjetivo de
hibridación de enjambres (MESH), y comparan sus resultados con los de los
algoritmos NSGA II, NSGA III, SPEA II, y MOEA/D. Sus hallazgos indican que =
el
MESH presenta un mejor desempeño, en comparación con el resto de los
algoritmos, en términos de eficiencia y exactitud.
El resto del artÃculo se distribuye de la siguiente manera. En la sección 2 se pre= senta la metodologÃa utilizada, luego en la sección 3 se discuten los resultados obtenidos; seguidamente, se presentan las conclusiones que se derivan de la investigación y, finalmente, se tienen las referencias bibliográficas utilizadas.
Materiales y Métodos
En primer lugar, se definieron las funciones objetivo que deben ser optimizadas, tomando en cuenta las condici= ones de los embalses, debidas al aumento de la demanda eléctrica, y al fenómen= o “El Niño†que genera sequÃa y, por consiguiente, bajo caudal de entrada. La= primera función  objetivo consistió en m= inimizar la producción de energÃa eléctrica en las plantas de generación hidroel= éctrica bajo estudio, correspondientes a los embalses 1 y 2, para asà disminuir el consumo del agua almacenada, puesto que se espera poco caudal de entrada en= el corto y mediano plazo, y la segunda función fue minimizar el racionamiento eléctrico en dicha región. Es evidente que estos dos objetivos son contrapuestos ya que minimizar la producción de la energÃa eléctrica gen= erada por las plantas hidroeléctricas implica un posible aumento en el racionami= ento eléctrico si no se dispone de otras fuentes de generación que compensen t= al disminución. El racionamiento eléctrico vendrá dado como la diferencia e= ntre la demanda máxima en la región bajo estudio y los distintos aportes de energ= Ãa eléctrica hacia dicha región. Estos aportes son la generación en las pla= ntas de los embalses bajo estudio, la generación en el resto de las plantas hidroeléctricas y térmicas de la región, y el lÃmite máximo de transfe= rencia a través del sistema de transmisión.
Seguidamente, se definieron las var= iables de decisión que se relacionan con las funciones objetivo, las que fueron generación eléctrica en la planta del embalse 1, generación eléctrica e= n la planta del embalse 2, generación eléctrica en el resto de la región, y l= Ãmite de transferencia de energÃa eléctrica hacia la región de estudio a travÃ= ©s del sistema de transmisión. Posteriormente, se consiguieron los lÃmites de las variables de decisión, asà como las restricciones que involucran a dichas variables. Los lÃmites de operación para las cotas de los embalses se introdujeron en las restricciones, cuyas ecuaciones se encontraron utilizan= do regresión lineal múltiple.
Una vez que se obtuvo el modelo mat= emático del problema de optimización multiobjetivo, se aplicó la técnica adecuad= a para resolver este problema. En esta investigación se empleó el algoritmo evol= utivo de optimización multiobjetivo NSGA II para conseguir un conjunto de decisi= ones no dominadas que definen el frente de Pareto, utilizando el lenguaje de programación Python.
 =
Optimización multiobjetivo
U=
n problema
de optimización multiobjetivo es aquel que tiene un conjunto de funciones
objetivo por optimizar, ajustando adecuadamente los valores de las variable=
s de
decisión, las que están sometidas a un conjunto de restricciones que se d=
eben
satisfacer simultáneamente. Coello et al. (2007,=
p. 5) indican
que “estas funciones objetivo forman la descripción matemática del crit=
erio de
desempeño, las cuales están usualmente en conflicto una con otraâ€. Dada=
la
caracterÃstica conflictiva entre las funciones a optimizar, no hay una sol=
ución
única que pueda mejorarlas de manera simultánea, por lo que la solución =
del
problema consiste en encontrar los valores de las funciones objetivo que se=
an
aceptables para el que toma la decisión. Adicionalmente, Hussain & Kim (2021, p. 3) hablan de =
la
optimización multiobjetivo como el proceso de optimizar simultáneamente un
conjunto de funciones objetivo, y plantean que “en la mayorÃa de los cas=
os las
funciones objetivo son de naturaleza conflictiva y optimizar una de ellas i=
mplica
el deterioro de la otra, y viceversa. Por consiguiente, la meta es encontra=
r un
equilibrio entre estos objetivos en conflictoâ€.
<= o:p>
L=
as
restricciones del problema son impuestas por el medio ambiente o por
limitaciones de los recursos disponibles, por lo que deben cumplirse para q=
ue
una solución determinada sea considerada aceptable o factible. Por otra pa=
rte,
describen dependencias entre las variables de decisión y constantes o
parámetros involucrados en el problema particular.
<= o:p>
Tal como plantean Al Shidhani et al, (=
2020),
si se establece el vector de variables de decisión:
Sujeto
a:
Frente óptimo de Pareto
P=
ara cada
problema de optimización multiobjetivo se podrÃa encontrar varias solucio=
nes de
equilibrio o compromiso, las que son conocidas como soluciones óptimas de
Pareto. Karami & Dariane (2022)
indican que el frente de Pareto es la gráfica de las funciones objetivo
considerando soluciones no dominadas, es decir, soluciones que son superior=
es
al resto de los componentes del espacio de decisión. Una solución, co=
mo el
vector de decisión, es óptima si no es dominada por ninguna otra solució=
n en el
espacio de decisión. Cuando una solución no es dominada, no es peor en ni=
nguno
de los objetivos, y es mejor en al menos uno de los objetivos. A la soluciÃ=
³n no
dominada se le llama óptimo de Pareto, y al conjunto de tales soluciones
compromiso óptimas se le conoce como el conjunto óptimo de Pareto, mientras que su imagen en el
espacio de objetivos se le conoce como frente
de Pareto.
En la Figura 1 se presentan tanto el espacio de decisión =
como
el espacio de objetivos para el caso de un problema de optimización para e=
l que
se requiere minimizar dos funciones objetivo, y se tienen dos variables de
decisión. Para efectos de ilustración, en el espacio de decisión se repr=
esentan
sólo tres puntos, los que se mapean hacia el espacio de objetivos. En este
caso, el punto
Figura = 1=
Espacios de decisión y de objeti= vos
Por otra parte, en la Figura 2 se puede observar la gráfica de un frente =
de
Pareto genérico en el que hay tres puntos caracterÃsticos: el punto de ut=
opÃa
en el que las dos funciones alcanzan sus óptimos individuales, pero que
realmente no forma parte del frente, y los dos puntos de anclaje, en los que
cada función alcanza su óptimo y que sà forman parte del frente de Paret=
o.
Estos tres puntos son definidos en Yeung &=
amp;
Zhang (2023), quienes además incorporan el punto nadir, el c=
ual
representa simultáneamente los peores valores de las funciones objetivo.
En la actualidad, para encontrar el frente de Pareto existe una varieda=
d de
técnicas. En la investigación de Emmeric=
h &
Deutz (2018) clasifican estas técnicas en tres categorÃas: técnic=
as de escalarización, algoritmos numéricos, y algoritmos
evolutivos. El primer grupo consiste en agrupar las funciones objetivo en u=
na
sola (o reformular todas menos una como restricciones), y se resuelve el
problema restringido a un solo objetivo. El segundo grupo reside en combinar
los métodos de escalarización con los métodos
numéricos matemáticos para solucionar un problema de optimización de un =
solo
objetivo. Finalmente, el tercer grupo radica en utilizar algoritmos evoluti=
vos,
tales como los algoritmos genéticos, para resolver el problema de optimiza=
ción
multiobjetivo. Este tercer grupo es el que se utiliza en esta investigació=
n,
puesto que, como indican Zitzler et al. (2004), la generación del frente de Pareto
podrÃa ser muy costosa computacionalmente hablando, e incluso podrÃa no s=
er
factible su obtención, dependiendo de la complejidad de la aplicación. Po=
r esta
razón, se ha hecho uso de los algoritmos evolutivos para obtener la
aproximación de dicho frente.
Figura = 2=
Frente de Pareto genérico=
<= o:p>
Opti=
mización
multiobjetivo evolutiva
Los algoritmos evolutivos multiobjetivo (MOEA) son un tipo de métodos =
de
optimización estocásticos que simulan el proceso de selección natural. A=
partir
de la década de los setenta del siglo XX, se han propuesto una variedad de
metodologÃas evolutivas, y de acuerdo con Zitzler et
al. (2004) estas metodologÃas trabajan sobre un conjunto de soluciones
candidatas, el cual es modificado a través de dos principios básicos: sel=
ección
y variación. La selección imita la competencia por la reproducción y los
recursos entre los seres vivos, y la variación imita la capacidad natural =
de
crear “nuevas†formas de vida mediante la recombinación y la mutación=
.
Los autores mencionados establecen que un algoritmo evolutivo se
caracteriza por poseer tres elementos principales: un conjunto de soluciones
candidatas, un proceso de selección (mating)
aplicado al conjunto de soluciones candidatas, y un proceso de recombinaciÃ=
³n
para generar nuevas soluciones. Haciendo analogÃa con la evolución natura=
l, a
las soluciones candidatas se les llama individuos, y al conjunto de solucio=
nes
candidatas se les llama población. El proceso de selección, por lo genera=
l,
consta de dos etapas: adaptabilidad (fitness) y muestreo (sampling).
En la primera etapa, los individuos en la población actual se evalúan=
en el
espacio de objetivos y entonces se le asigna un valor escalar llamado
adaptabilidad, el cual refleja su calidad. Posteriormente, se realiza la et=
apa
de muestreo en la que se seleccionan individuos de la población de acuerdo=
con
sus valores de adaptabilidad, y se colocan en una “piscina de apareamient=
o†(mating pool). Un método de muestreo
comúnmente utilizado consiste en elegir aleatoriamente dos individuos de la
población, y aquel que tenga mejor valor de adaptabilidad se copia en la
piscina. Este procedimiento se repite hasta que la piscina esté llena.
Seguidamente se aplican los operadores de variación a los individuos
ubicados en la piscina; generalmente, son los operadores de mutación y de
recombinación. El operador de recombinación toma un cierto número de ind=
ividuos
(padres) y crea un número predefinido de hijos, al combinar partes de los
padres. Asociado a este operador se tiene una probabilidad de cruce. Por ot=
ra
parte, el operador de mutación modifica a los individuos al cambiar pequeÃ=
±as
partes de ellos en el vector asociado, y de acuerdo con una tasa de mutaciÃ=
³n
dada. Se podrÃa dar el caso que algunos individuos sean solo una copia de =
la
solución previamente generada debido al efecto aleatorio del proceso.
Por último, se tiene el proceso de selección ambiental, en el que se
determina cuales individuos de la población y de la piscina modificada for=
marán
la nueva población. Un criterio es utilizar la piscina modificada como nue=
va
población; otro enfoque consiste en combinar ambos conjuntos y luego escog=
er
los mejores individuos, aunque estos no son los únicos dos enfoques utiliz=
ados
normalmente.
Coello et al. (2007) clasifican los algoritmos MOEA en tres tipos:
funciones de agrupamiento, enfoques basados en población, y enfoques basad=
os en
Pareto. El enfoque basado en Pareto consiste en un esquema de selección
asentado en el concepto de optimalidad de Pareto. Utiliza el concepto de
Â
El algoritmo NSGA consiste en hacer una jerarquización de la población
sobre la base de la no dominación, antes de hacer la selección. Todos los
individuos no dominados se clasifican en una categorÃa con un valor de
adaptabilidad proporcional al tamaño de la población, para asà suministr=
ar un
potencial reproductivo idéntico para estas soluciones. Para mantener la
diversidad de la población, se efectúa una repartición de adaptabilidad =
entre
estos individuos clasificados, utilizando los valores arbitrarios de
adaptabilidad previamente definidos. Luego, este grupo de soluciones
clasificadas se ignora, y se considera otra capa de individuos no dominados.
Este proceso se repite hasta que todos los individuos en la población estÃ=
©n
clasificados. NSGA II es una versión revisada del algoritmo NSGA de primera
generación. Es computacionalmente más eficiente, utiliza elitismo, y un
operador de comparación de llenado para mantener la diversidad sin especif=
icar
ningún parámetro adicional. No utiliza memoria externa, su mecanismo de
elitismo consiste en la combinación de los mejores parientes con los mejor=
es
descendientes obtenidos.
Regresión Lineal Múltiple
Este es un algoritmo de aprendizaje automático supervisado, y utiliz=
a una
serie de variables explicativas o regresoras que
definen el comportamiento de una variable objetivo. Se dice que el modelo es
lineal en los parámetros (coeficientes) y no necesariamente en las
variables. Sà se tienen k variab=
les
explicativas, según lo planteado por Gujarati & Porter (2010), la expresión=
de la
variable objetivo se presenta a continuación:
En la ecuación (=
5) se
cumple que Yi es la variable objetivo, X1i =
… Xki son las variables explicativas o <=
span
class=3DSpellE>regresoras, &#=
120598;i
De acuerdo con Gujarati & Porter (2010), en términos generales, existen tres métodos=
de
estimación de los coeficientes de regresión, también llamados parámetro=
s: mÃnimos
cuadrados ordinarios, máxima verosimilitud, método de los momentos, y su
extensión, el método de los momentos generalizado. Usualmente se utiliza =
el
primero de ellos, es decir, el método de los mÃnimos cuadrados ordinarios=
.
Adicionalmente, plantean que el modelo de regresión lineal se basa en ciertos supuestos; p= or ejemplo: no hay colinealidad exacta o cuasi exacta entre las variables explicativas, el término de perturbación estocástica esta normalmente distribuido, el número de observaciones debe ser mayor al número de pará= metros a estimar, el modelo de regresión es lineal en los parámetros, el valor m= edio de la perturbación estocástica es nulo, entre otros.
A continuación, se presentan y discuten los resultados obtenidos, los que incluyen el desarrollo del modelo del problem= a de optimización multiobjetivo, y el frente de Pareto conseguido luego de apli= car el algoritmo NSGA II utilizando el lenguaje de programación Python<= span lang=3DES-EC>.
Modelo del problema multiobjetivo
La función
En cuanto a la operación de los generado=
res de
los embalses 1 y 2, se tomaron los lÃmites operativos históricos durante =
el
perÃodo 2021-2023. Para la planta del embalse 1 una generación entre 0 MW=
y 185
MW, para la planta del embalse 2 una generación entre 0 y 201 MW. Para el =
resto
de las plantas de generación hidrotérmicas de la zona, se espera una gene=
ración
global entre los 300 MW y los 700 MW. Para el lÃmite de transferencia haci=
a la
zona, los valores se fijan entre los 200 MW y los 400 MW.
Para las cotas de los embalses, el lÃmit=
e de
operación mÃnima de cada uno de ellos se considera como una restricción.=
Para
ello, se genera una relación lineal entre la cota respectiva como variable
objetivo y las variables de decisión como las variables explicativas, a tr=
avés
de un modelo de regresión lineal múltiple, obteniéndose dos ecuaciones de
restricción asociadas a las cotas de los embalses, ver ecuación 12 para e=
mbalse
1 y ver ecuación 13 para el embalse 2. El modelo de regresión para la cot=
a del
embalse 1 tuvo un R2 de 59%, y un error porcentual absoluto medio
(MAPE) de 1,1% en los datos de prueba. En cuanto al modelo de regresión pa=
ra la
cota del embalse 2 tuvo un R2 de 53%, y un MAPE de 0,43% en los
datos de prueba.
Finalmente, el modelo quedarÃa de la siguiente ma=
nera:
Sujeto a:
=
=
=
=
Donde:
<=
span
lang=3DES-EC style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fare=
ast;
position:relative;top:3.0pt;mso-text-raise:-3.0pt;mso-font-kerning:0pt;
mso-ligatures:none;mso-ansi-language:ES-EC;mso-fareast-language:ES-TRAD;
mso-bidi-language:AR-SA'>
<=
span
lang=3DES-EC style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fare=
ast;
position:relative;top:3.0pt;mso-text-raise:-3.0pt;mso-font-kerning:0pt;
mso-ligatures:none;mso-ansi-language:ES-EC;mso-fareast-language:ES-TRAD;
mso-bidi-language:AR-SA'>
<=
span
lang=3DES-EC style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fare=
ast;
position:relative;top:3.0pt;mso-text-raise:-3.0pt;mso-font-kerning:0pt;
mso-ligatures:none;mso-ansi-language:ES-EC;mso-fareast-language:ES-TRAD;
mso-bidi-language:AR-SA'>
<=
span
lang=3DES-EC style=3D'font-size:12.0pt;font-family:"Times New Roman",serif;
mso-fareast-font-family:"Times New Roman";mso-fareast-theme-font:minor-fare=
ast;
position:relative;top:3.0pt;mso-text-raise:-3.0pt;mso-font-kerning:0pt;
mso-ligatures:none;mso-ansi-language:ES-EC;mso-fareast-language:ES-TRAD;
mso-bidi-language:AR-SA'>
Frente
de Pareto
Previo a la corrida del algoritmo NSGA II, se proc=
edió
a hacer su parametrización, quedando un tamaño de la población igual a 1=
00, un
total de 1000 generaciones, una probabilidad de cruce igual a 0,9, una
probabilidad de mutación igual al inverso del número de variables de deci=
sión,
el operador de cruce del tipo “binario simuladoâ€, un operador de mutaci=
ón
polinómico, y la inicialización del tipo “hipercubo latinoâ€.
Luego de aplicar el algoritmo, se obtuvo el frente=
de
Pareto que se presenta en la Figura 3<=
/span>.
Se puede ver que el punto de utopÃa corresponde a la solución trivial cua=
ndo
hay generación nula en las plantas de los embalses 1 y 2, y toda la demand=
a es
satisfecha con la generación del resto de las plantas, más lo que se tran=
sfiere
a través del sistema de transmisión.
Figura 3=
Frente de Pareto
De la Figura 3<= /span> también se puede observar que el punto de anclaje superior corresponde a u= na generación nula en los embalses 1 y 2 y un racionamiento de 300 MW, asà c= omo una generación del resto de las plantas de 700 MW y un lÃmite de transfer= encia de 400 MW. El punto de anclaje inferior comprende una generación de 298,12= MW en las plantas de los embalses y un racionamiento de 2,01 MW. La generació= n de la planta del embalse 1 serÃa de 118,51 MW, la del embalse 2 de 179,6 MW, = la del resto de las plantas 700 MW, y el lÃmite de transferencia en 400 MW. <= o:p>
Entre los dos puntos de anclajes hay adicionalment= e 76 puntos no dominados que completan el frente de Pareto. Este es un número considerable de soluciones no dominadas, lo que da flexibilidad para la administración de los embalses. Por ejemplo, en Jena et al. (2022) se obtienen sólo 20 soluciones no dominadas al utiliz= ar el algoritmo NSGA II, al igual que en la investigación de (Hojjati et al. (2018) cuando utilizan el mismo algoritmo de optimización.
Para
la aplicación del algoritmo NSGA II al problema de optimización, se utili=
zó el framework de computación evolutiva Platypus con el lenguaje Python, y el tiempo de obten=
ción
del frente de Pareto fue de aproximadamente 4,55 segundos.
Se
desarrolló un modelo de optimización multiobjetivo para minimizar la prod=
ucción
de energÃa eléctrica de las plantas hidroeléctricas asociadas a dos emba=
lses, y
simultáneamente minimizar el racionamiento eléctrico en la región que es
alimentada en parte por las plantas de los embalses mencionados. El modelo
considera el cumplimiento de las cotas mÃnimas y máximas de operación de=
los
embalses como restricciones del modelo, cuyas expresiones matemáticas se
encontraron utilizando el algoritmo de aprendizaje automático regresión l=
ineal
múltiple.
<= o:p>
L=
uego de
aplicar el algoritmo NSGA II, se encontró el frente de Pareto del problema=
de
optimización multiobjetivo. Este frente cuenta con un total de setenta y o=
cho
puntos de soluciones no dominadas, incluyendo los dos puntos de anclaje. Es=
tas
soluciones se pueden considerar para la operación de las plantas asociadas=
a
los embalses bajo estudio, para las horas del dÃa en las que se espera un =
mayor
valor de la demanda eléctrica. El tiempo que toma obtener el frente de Par=
eto
utilizando el lenguaje Python y el framework Platypus fue de sólo 4,55 segundos.
<= o:p>
Se recomienda comparar los resultados obtenidos utilizando otros algoritmos de optimización multiobjetivo, y seleccionando los indicadores idóneos para evaluar el desempeño de cada algoritmo utilizado. Asimismo, incorporar restricciones de costos monetarios y ambientales asociados a las plantas térmicas del resto de la generación eléctrica de la región. Finalmente,= se aconseja incorporar una técnica de toma de decisiones multicriterio para la selección del mejor punto del frente de Pareto obtenido.
Referencias
 BIBLIOGRAPHYÂ
\l 8202 Agencia
Internacional de EnergÃa. (2021). Climate Impacts on Lat=
in
American Hydropower. France: IEA.
Ahmad,
M., Beddu, S., Itam, Z., & Ismail Alanimi, F. (2019). State of the Art
Compendium of Macro and Micro Energies. Advances in Science and Technolo=
gy
Research Journal, 88-109. https://doi.org/10.12913/22998624/103425.
Al
Shidhani, T., Ioannou, A., & Falcone, G. (2020). Multi-Objective
Optimisation for Power System Planning Integrating Sustainability Indicator=
s. MDPI
Energies, https://doi.org/10.3390=
/en13092199.
Coello
Coello, C., Lamont, G., & Van Veldhuizen, D. (2007). Evolutionary
Algorithms for Solving Multi-Objective Problems. New Yo=
rk,
USA: Springer.
Emmerich,
M., & Deutz, A. (2018). A tutorial on multiobjective optimization:
fundamentals and evolutionary methods. Natural Computing, 585-609.
https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y.
Gujarati,
D., & Porter, D. (2010). EconometrÃa.
México, D. F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V.
Hojjati,
A., Monadi, M., Faridhosseini, A., & Mohammadi, M. (2018). Application
and comparison of NSGA-II and MOPSO in multi-objective optimization of water
resources systems. Journal of Hydrology and Hydromechanics, 323-329.=
https://doi.org/10.2478/johh-2018-0006.
Huang,
G., Tan, M., Meng, Z., Yan, J., Chen, J., & Qu, Q. (2023). Hydropower
Scheduling with Power Load Prediction: Optimizing Energy Efficiency and
Navigation Performance. Research Square,Â
https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-2959078/v1.
Hussain,
A., & Kim, H.-M. (2021). Evaluation of Multi-Objective Optimization
Techniques for Resilience Enhancement of Electric Vehicles. MDPI
Electronics, https://doi.org/10.3390/electronics10233030.
Jena,
C., Guerrero, J., Abusorrah, A., & Al-Turk, Y. (2022). Multi-Objective
Generation Scheduling of Hydro-Thermal System Incorporating Energy Storage =
With
Demand Side Management Considering Renewable Energy Uncertainties. IEEE
Access, 52343-52357. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2022.3172500.
Karami,
F., & Dariane, A. (2022). A review and evaluation of multi and
many-objective optimization: Methods and algorithms. Global Journey of
Ecology, 104-119. https://dx.doi.org/10.17352/gje.000070.
Li,
F.-F., & Qiu, J. (2015). Multi-Objective Reservoir Optimization Balanci=
ng
Energy Generation and Firm Power. Energies,
6963-6976. https://doi.org/10.3390=
/en8076962.
López,
M. (11 de Febrero de 2024). ¿Qué pasa con los fenómenos de El Niño y La=
Niña y
cómo esto afecta a Venezuela? Efecto Cocuyo, págs. Recuperado de:
https://efectococuyo.com/cambio-climatico/que-pasa-con-los-fenomenos-de-el-=
nino-y-la-nina-venezuela/.
Marcelino,
C., Leite, G., Delgado, C., de Oliveira, L., Wanner, E., Jiménez-Fernánde=
z, S.,
& Salcedo-Sanz, S. (2021). An efficient multi-objective
evolutionary approach for solving the operation of multi-reservoir system
scheduling in hydro-power plants. Expert Systems With Applications,
https://doi.org/10.1016/j.eswa.2021.115638.
National
Oceanic and Atmospheric Administration. (8 de F=
ebrero
de 2024). EL NIÑO/SOUTHERN OSCILLATION (ENSO) DIAGNOSTIC DISCUSSION. Cl=
imate
Prediction Center, pág. Recuperado de:
https://www.cpc.ncep.noaa.gov/products/analysis_monitoring/enso_advisory/en=
sodisc.shtml.
Okoye,
G., Kassem, Y., & Gökçekuş, H. (2023). Assessing the impacts of clim=
ate
change on hydropower generation and the power sector in Nigeria. China
Petroleum Processing and Petrochemical Technology, 1-15.
REN21.
(2023). Global Status Report - Renewables 2023. ParÃs:=
REN21
Secretariat.
Sun,
X., Luo, J., & Xie, J. (2018). Multi-Objective Optimizati=
on
for Reservoir Operation Considering Water Diversion and Power Generation
Objectives. MDPI Water, https://doi.org/10.3390/w10111540.
Wei,
N., Yang, F., Lu, K., Xi, J., & Zhang, S. (2022). A Method of
Multi-Objective Optimization and Multi-Attribute Decision-Making for
Huangjinxia Reservoir. MDPI Applied Sciences,
https://doi.org/10.3390/app12136300.
Yeung,
D., & Zhang, Y. (2023). Bi-Objective Optimization: A Pareto Method with
Analytical Solutions. Applied Mathematics, 57-81.
https://doi.org/10.4236/am.2023.141004.
Zhou,
E., Liu, X., Meng, Z., Yu, S., Mei, J., & Qu, Q. (2023). Optimizing
Hydropower Station Scheduling: A Multi-Objective Real-Time Approach. Sci=
entific
Reports, https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-3009681/v1.
Zitzler,
E., Laumanns, M., & Bleuler, S. (2004). A Tutorial on Evolutionary
Multiobjective Optimization. En X. Gandibleux , M. Sevaux, K. Sörensen, &a=
mp;
V. T’kindt, Metaheuristics for Multiobjective Optimisation (págs.=
3-37).
Berlin: Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-17144-4_1.
Resolución del problema de optimización bi-objetivo para el despacho de plantas hidroelé=
ctricas
en condiciones de bajo caudal de entrada utilizando el algoritmo NSGA I=
I 5