MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; boundary="----=_NextPart_01D7FDAB.AC600D90" Este documento es una página web de un solo archivo, también conocido como "archivo de almacenamiento web". Si está viendo este mensaje, su explorador o editor no admite archivos de almacenamiento web. Descargue un explorador que admita este tipo de archivos. ------=_NextPart_01D7FDAB.AC600D90 Content-Location: file:///C:/211C39D3/799-vol-33-num-3.htm Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Type: text/html; charset="windows-1252"
https://doi.org/10.37815/rte.v33n3.799
Artículos originales
Aplicación
del método Newton-Raphson por polinomio cúbicos usando el método
Tartaglia-Cardano<=
span
style=3D'font-size:10.0pt'>
A=
pplication of the
Newton-Raphson method by c=
ubic
polynomial using the Tartaglia-Cardano method
Pedro Fabricio
Echeverría Brionesh=
ttps://orcid.org/0000-0002-4921-1111
1
coordinadoracademicoposgrado03@uteg.edu.e=
c, pecheverr@gmail.com
Enviado: 2021/01/12=
span>
Aceptado: 2021/10/18
Publicado: 2021/12/30
Resumen
Algunos de los métodos usados para encontrar raíces de funciones en las matemáticas aplicadas son = los algoritmos interactivos, que constituyen un campo de interés muy importante dentro de la disciplina debido a que permiten encontrar soluciones para usa= r la menor capacidad de recursos dentro de los sistemas computacionales. La propuesta de estos algoritmos iterativos implica la relación de diferentes áreas de las matemáticas: álgebra, cálculo diferencial, cálculo vectorial y análisis numérico. Esta relación conjuga la teoría de cálculo diferencial y= el análisis numérico realizado por matemáticos ingleses, como Newton y Raphson. Estos propusieron la primera forma de buscar una raíz de una función usando iteraciones, la que a su vez se sustentó en teorías algebraicas desarrollad= as por algunos matemáticos italianos, como Tartaglia y Cardano, quienes anteriormente habían encontrado las soluciones a las raíces de un polinomio= de orden cúbico. Dentro del proceso deductivo que se siguió en el proceso, se utilizaron las aproximaciones recomendadas que se generaron al aplicar las Series de Taylor. Por otro lado, durante el proceso de experimentación se h= an identificado determinados patrones repetitivos, especialmente, cuando el pu= nto de inicio se aleja de la raíz. Esto permitió mejorar el algoritmo iterativo= al identificar el lugar de la curva de convergencia. Finalmente, se generalizó la ecuación iterativa para muchas variables, a partir de las deducciones utilizadas de = 1 y 2 variables.
Palabras clave: =
span>iteración, raíz, cero de función, convergenc=
ia,
cúbico.
Abstract
Some of the methods employed to find roots of functions in applied
mathematics are interactive algorithms, which is a very important field of
interest within the discipline because they allow finding solutions using t=
he
least number of resources within computational systems. The proposal of the=
se
iterative algorithms involves the relationship of different areas of
mathematics being algebra, differential calculus, vector calculus, and
numerical analysis. This relationship combines the theories of differential
calculus and numerical analysis carried out by English mathematicians, such=
as
Newton and Raphson. They proposed the first way to find a root of a function
using iterations with the application of algebraic theories of Italian
mathematicians, Tartaglia and Cardano, who had
previously found the solutions to the roots of a cubic order polynomial. Al=
ong
the deductive process, the recommended approximations were followed by using
the Taylor series. On the other hand, the experimentation process determined
repetitive patterns, especially when the starting point is far from the roo=
t.
This allowed the improvement of the iterative algorithm by identifying the
location of the convergence curve. Finally, the iterative equation was
generalized for many variables using the deductions of 1 and 2 variables. <=
/span>
Keywords: iteration, root, function zero, convergen=
ce,
cubic.
Introducción<= o:p>
El méto=
do de
Newton-Raphson utiliza demostraciones algebraicas, cálculo diferencial, cál=
culo
vectorial y análisis numérico para la aproximación de raíces. Cabe señalar =
que
este método contiene errores de orden cuadrático. Por otro lado, para
determinar las raíces de un polinomio de orden cúbico, se utiliza el método
Tartaglia-Cardano. Esta es la razón por la que el algoritmo iterativo que se
deduce tiene ventajas, pues, al encontrar la raíz de una función usando la =
raíz
del polinomio cúbico, que se aproxima por series de Taylor, se obtiene un e=
rror
de orden cuartico. Esto hace que la convergencia sea más segura, a pesar de=
que
se usan puntos de inicio muy alejados con respecto al valor de la raíz. La
forma de programación utilizada es sencilla porque el proceso de
experimentación simplemente utiliza una hoja de cálculo. Algunas restriccio=
nes
del modelo son que la función tenga una tercera derivada continua diferente=
de
cero y que existan ciertos intervalos en donde se pueda tener un valor inic=
ial.
Desarrollo
Definición de= una función de una variable en serie de Taylor
Para formular =
una
función f(x), que es m veces derivable, en polinomios por serie de Taylor, =
se
utilizó la ecuación (1) (Leithold, 1998; Burden, Faires, y Burden, 2017):
=
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> |
(1) |
Al llevar la s=
erie
de Taylor hasta un polinomio cúbico se tiene:
=
|
(2) |
Obteniendo:
=
|
(3) |
Definición de una función de dos variables = span> en serie de Taylor
Para formular =
una
función la cual puede ser m veces derivable, se utiliza=
su
descomposición en polinomios por serie de Taylor (Coll=
ey,
2012; Conte, 1980):
=
|
(4) |
Resolución algebraica de Tartaglia-Cardano para polinomios cúbicos
Para el polino=
mio de
orden cúbico, se debe llevar al modelo de polinomio hacia donde este satisf=
ace
a, b y c (Ivorra, 2020):
=
|
(5) |
Donde una de l=
as
raíces reales cumplirá con:
=
|
(=
6) |
Siendo:
=
|
(=
7) |
=
|
(8) |
=
|
(9) |
Convergencia del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones = de una variable
Al combinar la=
serie
de Taylor de la ecuación (3) con la resolución de Newton-Raphson =
(Burd=
en,
Faires, & Burden, 2017), se obtiene:
|
(10) |
De la ecuación=
(10)
se tiene que pasar al formato de la ecuación (5), dividiendo para =
span> todo=
s los
términos del polinomio.
=
|
=
(11) |
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> |
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> (2) |
Encontrando los
valores de a, b y c:
=
|
(1=
2) |
=
|
=
(13) |
=
|
(=
14) |
Determinando l=
os
valores de las ecuaciones (7), (8) y (9):
=
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> |
=
(15) |
=
|
(1=
6) |
=
|
=
(17) |
Al aplicar los
valores de las ecuaciones (15), (16) y (17) en la ecuación (5), se determin=
a:
=
|
(18=
) |
Al despejar =
span> se det=
ermina
el algoritmo iterativo:
=
|
(1=
9) |
Convergencia del algoritmo iterativo usando el polinomio de orden cúbico para funciones = de dos variables
Aquí se usa el
modelo de Newton-Raphson con el método de Tartaglia-Cardano para una funció=
n de
dos variables. Para varias variables, se tiene que utilizar la serie de Tay=
lor,
en donde se realiza una reducción de términos, asumiendo que =
cuando excepto cuando los índices de las sumato=
rias
sean iguales. Reduciendo la ecuación (4):
=
|
(20) |
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> |
<=
span
style=3D'mso-bookmark:_Hlk90128094'> (2) |
Donde: j=3D{1,2}, se obtienen los siguientes valores de la ecu=
ación
(5) :
=
|
(2=
1) |
=
|
(=
22) |
Donde: j=3D{1,2}, se obtienen los siguientes valores de las ec=
uaciones
(6), (7) y (8) :
=
|
(2=
3) |
=
|
(2=
4) |
=
|
(25=
) |
Al aplicar los
valores de las ecuaciones (23), (24) y (25) en la ecuación (5), se determin=
a:
=
|
(26) |
Al despejar =
span>, se determina el algoritmo iterativo para una
función de dos variables:
=
|
(=
27) |
Análisis de resultados
Validación de la convergencia del algo= ritmo iterativo para funciones de una variable
A continuación, en los siguientes gráficos, se presen=
tan
los resultados que se obtuvieron de las pruebas que se realizaron con
diferentes funciones, cuyas condiciones fueron que estas tengan la tercera
derivada diferente de cero y en diferentes puntos de inicio:
Figura 1 en escala logarítmica= por número de iteración para con diferentes puntos= de inicios alejados de la raíz
Figura 2 en escala logarítmica por número de iter=
ación
para con diferentes puntos de inicios alejado=
s de
la raíz
Figura 3 en escala logarítmica= por número de iteración para con diferentes puntos= de inicios alejados de la raíz
Figura 4 en escala logarítmica= por número de iteración para<= ![if !msEquation]> con diferentes puntos= de inicios alejados de la raíz
Figura <=
/span>5<=
/span>
Curv= as de Convergencia de en escala logarítmica= por número de iteración paracon diferentes puntos de inicios alejados de la raíz
A partir de las representaciones gráficas de esta
experimentación, se puede deducir que el algoritmo iterativo tiene dos form=
as
de convergencia. Este patrón se puede observarse visualmente cuando se alej=
a el
valor de inicio de la raíz. En resumen, se puede concluir:
1.=
Al o=
bservar
las curvas de convergencia, se verifica la formación de una línea recta
decreciente entre . Es=
te
proceso es lento. Lo que llama la atención es que para diferentes valores d=
el
punto inicial se obtienen rectas que son casi paralelas. 2.
Cuando la curva se acerca a la raíz, su
convergencia se acelera cambiando la pendiente de la curva rápidamente por =
cada
iteración. Esta es la razón por la que se puede determinar una
aceleración al diferenciar cuando esta se encuentra entre los dos
patrones. A continuación, se prese=
ntan
el análisis de los siguientes casos: a)
Si los , el=
patrón
se encontraría en los siguientes gráficos: Figura 6 en escala logarítmica=
por
número de iteración para Figura 7 por número de iteraci=
ón Para acelerar la convergencia, se predice=
el
valor de la distancia del valor de inicio con respecto a la raíz. Si se uti=
liza
la expresión de la recta por número de iteración n: =
=
(28)
=
=
|
(29) |
=
=
|
(30) |
Obtenemos la pendiente de la recta m:
=
=
|
(31) |
=
=
|
(32) |
Obtenemos la intersección de la recta b:
=
=
|
(33) |
=
=
|
(34) |
Si se establece que y=3D0, se obtiene el número de
iteraciones n:
=
=
|
(35) |
=
=
|
(36) |
=
=
|
(37) |
Si se convierte n en entero:
=
=
|
(38) |
De manera que se determina la distancia entre el valor
inicial y la raíz al obtener
a)=
Si l=
os , se
encontraría el patrón en los siguientes gráficos.
Figura 8 en escala logarítmica= por número de iteración para
Figura 9 por número de iteraci= ón
Si este patrón se repite, el primer proceso de
convergencia puede ser acelerado al considerar el patrón de las iteraciones=
, lo
que, a su vez, puede determinar un procedimiento para calcular la distancia
entre el valor inicial y la raíz. =
Si
para esto se utiliza la ecuación de la recta por iteración n:
=
=
|
(39) |
=
=
|
(40) |
=
=
|
(41) |
Obtenemos la pendiente de la recta m:
=
=
|
(42) |
=
=
|
(43) |
Obtenemos la intersección de la recta b:
=
=
|
(44) |
=
=
|
(45) |
=
|
(46) |
Por lo que el modelo sería:
=
|
(47) |
Si se establece que y=3D0, se tendría a n:
=
|
(48) |
=
|
(49) |
=
|
(50) |
El valor de n debe ser entero y estar antes de la zon=
a de
convergencia, por lo que se le restará 3 iteraciones. Obteniendo:
=
|
(51) |
De manera que se pueda determinar la distancia entre =
el
valor inicial y la raíz al obtener . Es=
to
mejora el algoritmo iterativo de la ecuación (27) y permite obtener la
expresión:
=
=
|
(52) |
● =
Si , entonces <=
/span>
● =
Si , entonces
Validación de la convergencia del algo= ritmo iterativo utilizando un predictor de distancia entre el punto inicial y la = raíz para funciones de una variable
Considerando los casos anteriores:
a)=
Si <=
/span> en la función , al=
aplicar
el coeficiente de aceleración, se obtienen menos iteraciones.
Figura 10 en escala logarítmica= por número de iteración para con diferentes punto= s de inicios alejados de la raíz
a)
Si en la función , al aplicar el coeficiente de aceleraci=
ón, se
obtienen menos iteraciones.
Figura 11 en escala logarítmica= por número de iteración para con diferentes punt= os de inicios alejados de la raíz
Obsérvese cómo, sin importar la distancia del punto de
inicio, se disminuyen las iteraciones con respecto a la Figura 5.
Validación de la convergencia del algo= ritmo iterativo para funciones de dos variables
Para se repiten las curvas de convergenc=
ia
(ver Figura 12).
Curv= as de Convergencia de en escala logarítmica= por número de iteración para con diferentes punt= os de inicios alejados de la raíz
Después de las aplicaciones, deducciones algebraicas y
aplicaciones de funciones que ayudan a reducir el número de pasos, se puede
obtener una generalización del algoritmo iterativo para algunas variables: =
=
(53) |
Donde j determina las variables y n el número de
iteraciones.
El método de uso de resolución de una raíz
cúbica es un proceso que converge mientras se cumplan las condiciones de los
valores ,
Utilizar la memoria de los valores de las
iteraciones, ayuda a definir modelos matemáticos que permitan acelerar
ecuaciones iterativas.
Las funciones encontradas en las curvas de
convergencias podrían convertirse en un patrón que determine ecuaciones
iterativas para la búsqueda de una raíz en diferentes funciones.
Referencias
Leitho=
ld, L.
(1998). El Cálculo. México: Oxf=
ord
University Press.
Artega=
, J.,
& Malakhaltsev, M. (2013). Cálc=
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Burden=
, R.,
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f
=